LXII OM - finał

[tkrass]

haha jak pół mojej klasy xD

[XMaS11]

To forum jest okupowane przez jakichś ułomnych gimnazjalistów i zakompleksionych grubasów. Gdzie się podziali ludzie, którzy wrzucają zadania i próbują je robić? Jedynymi osobami, z którymi można tu porozmawiać o matematyce jest matka olimpijczyka z Rzeszowa i gej-fan Damiana. Najwyższy czas, żeby świat się skończył.

[Swistak]

Hahahahaha, nie przypuszczałem, że kiedyś to powiem, ale Marcinek665 +2 xD.
I XMaS +1 ;p.
XMaS, ja jeszcze próbuję podtrzymywać to forum, ale ciężko mi samemu, skoro samemu się nie angażujesz i od starych userów też niewiele wkładu jest .

[limes123]

Powodzenia wszystkim;)

[adriano1992]

jak coś to impreza w 210B

[ironleaf]

1. Znaleźć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\) o następującej własności: istnieje taka permutacja \(\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots, a_n)}\) ciagu \(\displaystyle{ (1, 2, \ldots, n)}\), że dla \(\displaystyle{ k=1, 2, \ldots, n}\) suma \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots+a_k}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ k}\).
2. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CA}\), \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\). Prowadzimy trzy proste: przez środki odcinków \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\), przez środki odcinków \(\displaystyle{ BF}\) i \(\displaystyle{ BD}\) oraz przez środki odcinków \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ CE}\). Wykazać źe środek okręgu opisanego na trójkącie wyznaczonym przez te trzy proste pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
3. Dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n \geqslant 3}\) wyznaczyć liczbę rzeczywistych rozwiązań \(\displaystyle{ (x_1, x_2, \ldots, x_n)}\) układu równań
\(\displaystyle{ x_1(x_1+1)=x_2(x_2-1)}\)
\(\displaystyle{ x_2(x_2+1)=x_3(x_3-1)}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ x_{n-1}(x_{n-1} + 1)=x_n(x_n-1)}\)
\(\displaystyle{ x_n(x_n+1) = x_1(x_1-1)}\)

[MateuszL]

Śliczne zadania, wszystkie.

[ElEski]

Plani fajna ;]

[wally]

3. Easy:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), ponieważ każde równanie generuje nam warunek:
\(\displaystyle{ x_{i+1} = x_{i} + 1}\) lub \(\displaystyle{ x_{i+1}=-x_{i}}\) okazuje się, że wybranie dowolnego z tych dwóch warunków dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,...,n-1}\) wybiera nam warunek dla \(\displaystyle{ i=n}\), no i każde wygeneruje nam inne rozwiązanie (ponieważ wszystkie rozwiązania będą całkowitoliczbowe), ano i ten układ będzie oznaczony (tu używamy założenia że n jest nieparzyste, bo musimy albo nieparzyście wiele razy dodać jedynką i też nieparzyście wiele razy zmienić znak, lub parzyście to i to)

[ironleaf]

4. Wyznaczyć wszystkie takie pary funkcji \(\displaystyle{ f, g}\) określonych na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmujmujących wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)}\).

5. Wysokości czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ H}\) leżącym wewnątrz czworościanu. Prosta \(\displaystyle{ DH}\) przecina ścianę \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a sferę opisaną na danym czworościanie w punkcie \(\displaystyle{ Q}\) różnym od \(\displaystyle{ D}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ PQ=2HP}\).

6. Dowieść, że nie istnieją takie wielomiany \(\displaystyle{ f_1(x)}\), \(\displaystyle{ f_2(x)}\), \(\displaystyle{ f_3(x)}\), \(\displaystyle{ f_4(x)}\) o współczynnikach wymiernych, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ x^2+7=\left(f_1(x)\right)^2+\left(f_2(x)\right)^2+\left(f_3(x)\right)^2+\left(f_4(x)\right)^2}\).

[wally]

4. very easy:

Ukryta treść:    

Ustalamy \(\displaystyle{ x=y}\) dostając \(\displaystyle{ f(x)=g(x)(g(x)+2)}\). Kwadracimy wyjściowe równanie, wstawiamy tą zależność, skracamy co się da i otrzymujemy \(\displaystyle{ g(x)=g(y)}\) czyli \(\displaystyle{ g}\) stałe. Musi być \(\displaystyle{ g(x)(g(x)+2) \ge 0 \Rightarrow g = C \in (-\infty,-2> \cup <0,\infty)}\). Tak więc oczywiście \(\displaystyle{ f(x)= +- \sqrt{C^{2} + 2C}}\)(gdyby f miało gdzieś różne znaki to by przy mnożeniu by się popsuło )

2 zadanka prawie darmowe ;P

[laurelandilas]

Wally, zrobiłeś może planimetrię?

[paladin]

Chyba nie rozumiem treści zadania 1. Brakuje mi przynajmniej jednego kwantyfikatora.

[wally]

No fakt, w pierwszym brakuje czegoś... może na stronie OM będzie treść zadań to się dowiemy
Nie robiłem plani, bo uczę się do kolosa z Geometrii z Algebrą Liniową z *

[ironleaf]

Chyba nie rozumiem treści zadania 1. Brakuje mi przynajmniej jednego kwantyfikatora.

ciagu \(\displaystyle{ (y_1, y_2, \ldots, a_n)}\)

Chodzi o ciąg \(\displaystyle{ (1, 2, \ldots, n)}\).