LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[kubus1353]

No więc moim zdaniem będzie. Dlaczego? Bo chcialbym żeby była. Oczywiście najlepiej jakaś robialna Ogarnij sobie poprzednie 2 etapy i policz prawdopodobieństwo... A czemu akurat pytasz o nierówność? Czyżby ten dział szczególnie Ci nie leżal i chciałbyś go sobie odpuścić czy jak?

[slepy_01]

Nierówności są spoko. W sumie tylko znajomość paru nierówności i umiejętne przekształcanie wzorów. Chociaż ostatnia nierówność była naprawdę harda. Nie zrobiłem jej niestety...

[kubus1353]

To prawda. Jeżeli chodzi Ci o nierówność z tegorocznego 1 etapu to przyznam, że mi również nie udało się jej zrobić. Pamiętajmy jednak, że 2 etap charakteryzuje się zadaniami innego typu i odpowiednia wiedza, z odrobiną błyskotliwości na ogół wystarczy.

[michary91]

Witam
Właśnie i ja chciałbym żeby była jakaś nierówność
a pytam tylko z powodu zastanowienia czy wgłębiać się w ten temat bardzo poważnie czy jednak poświecić czas na inne działy...
Pozdrawiam

[kubus1353]

No wiesz, to zależy od Ciebie. Albo trafisz albo nie... Z tego co ja przeglądalem poprzednie 2 etapy to widziałem za każdym razem 2 geometrie i na ogół 1 teorię liczb. - to można powiedzieć, że jest prawie pewne. A reszta to zależy...

[Dasio11]

Pozwolę sobie zamieścić moje rozwiązanie zadania 12-ego:

12:    

Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy \(\displaystyle{ S(x, y) = \sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}}\). Z warunków zadania otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ a, c>0}\):

\(\displaystyle{ 3f(S(a, c))= f(S(a, c))+f(a)+f(c) = \frac{f(S(a, c))+f(a)}{2} + \frac{f(a)+f(c)}{2} + \frac{f(c)+f(S(a, c))}{2} = f(S(a, c)) + f(S(a, S(a,c))) + f(S(c, S(a,c))) = \\ \\
= f(S(a, c))+ 2f \Bigg( S \bigg( S \Big( a, S \big( a, c \big) \Big), S \Big(c, S \big(a,c \big) \Big) \bigg) \Bigg)}\)

tzn. \(\displaystyle{ f(S(a, c))=f \Bigg( S \bigg( S \Big( a, S \big( a, c \big) \Big), S \Big(c, S \big(a,c \big) \Big) \bigg) \Bigg)}\).

Jeśli tylko istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha>1}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y >0}\), gdzie \(\displaystyle{ x<y<\alpha x}\), istnieją takie \(\displaystyle{ a, c >0}\), że

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=S(a, c) \\ y=S \big( S ( a, x ), S (c, x ) \big) \end{cases}}\),

wówczas otrzymamy, że dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) funkcja jest stała w przedziale \(\displaystyle{ (x, \alpha x)}\). Stąd dla dowolnych \(\displaystyle{ 0<x'<y'}\) zajdzie

\(\displaystyle{ f(x') \stackrel{(*)}{=} f \left( \frac{\alpha+1}{2} x' \right) \stackrel{(*)}{=} f \left( \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^2 x' \right) \stackrel{(*)}{=} \ldots \stackrel{(*)}{=} f \left( \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^n x' \right) =~f(y')}\),

przy czym tak dobieramy \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), aby

\(\displaystyle{ \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^n x' < y' < \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^n \cdot \alpha x'}\).

Równości \(\displaystyle{ (*)}\) są prawdziwe, ponieważ dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\) jest

\(\displaystyle{ \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^k x' < \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^{k+1} x' < \left( \frac{\alpha+1}{2} \right)^k \cdot \alpha x}\).

Wystarczy zatem pokazać, że istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha>1}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ 0<x<y<\alpha x}\) istnieją \(\displaystyle{ a, c >0}\) t. że

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=S(a, c) \\ y=S \big( S ( a, x ), S (c, x ) \big) \end{cases}}\).

Niech \(\displaystyle{ \alpha=1.005}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x, y>0}\) takie, że \(\displaystyle{ x<y< \alpha x}\). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{12x^2-3c^2}-c}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x \le c < x\sqrt{3}}\), to \(\displaystyle{ 0<a \le c}\) oraz \(\displaystyle{ S(a, c)=x}\). Wystarczy więc pokazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ c \in \left< x, x \sqrt{3} \right)}\), że

\(\displaystyle{ y=S \left( S(c, x), S \left( \frac{\sqrt{12x^2-3x^2}-c}{2}, x \right) \right)}\),

wówczas przyjmując \(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{12x^2-3c^2}-c}{2}}\) spełnimy

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 < a \le c \\ x=S(a, c) \\ y=f \Big( S \big( S ( a, x ), S (c, x ) \big) \Big) \end{cases}}\).

Niech \(\displaystyle{ g(c)=S \left( S(c, x), S \left( \frac{\sqrt{12x^2-3x^2}-c}{2}, x \right) \right)}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ g}\) jako funkcja ciągła ma własność Darboux, oraz

\(\displaystyle{ \begin{cases} g(x)=x \\ g(1.7x)=x \cdot 1.0054... > \alpha x \end{cases}}\).

Stąd istnieje takie \(\displaystyle{ c \in \left< x, 1.7x \right> \subset \left< x, x \sqrt{3} \right)}\), że \(\displaystyle{ y=g(c)}\).
Pozostaje nadmienić, że każda funkcja stała spełnia warunki zadania.
Odpowiedź: Każda funkcja stała.

i czekam na krytykę.

[slepy_01]

Hmmm. Co do drugiego etapu. Jak myślicie co będzie?. Ja stawiam tak: 2 robialne geometrie, teorię liczb(jak zwykle zresztą), jakiś wielomian(może robialny), układzik/nierówność no i coś dziwnego w stylu kombi albo coś takiego(może jakaś funkcja, coś w ten deseń).

[Manolin]

Ja myślę że dadzą jakąś nierówność.Pewnie zadanka będą w schemacie poprzedniej OM trochę łatwych zadanek , trochę średnich i jakiś hardkor.
Noi mam nadzieję że nie będzie żadnych niespodzianek jak stereometria ostatnio.

[slepy_01]

Eee tam. Stereo było w zeszłym roku fajne. Szkoda że w zeszłym roku nie brałem udziału:(... No ale co poradzić. Za słaby byłem.. Zrobiłem tylko jedno zadanie i to nie w całości... Na szczeście w tym roku jest inaczej troszkę. Co nieco zatrybiłem. Swoją drogą to liczę na nierówność... Byleby nie była taka harda jak w tym roku bo się potnę...

[AmadeuszFurman]

nie jestem żadnym wymiataczem ale zadanie 6te z 1 etapu OM bylo wg mnie jednym z najprostszych... niestety z braku JAKIEGOKOLWIEK doswiadczenia w nierównosciach nie wpadłem na użycie AM-GM na końcu, ale wpadnięcie na lemat było oczywiste i nie wyobrażam sobie rozwiązywania tego zadania innym tokiem myslenia

[smigol]

nie wyobrażam sobie rozwiązywania tego zadania innym tokiem myslenia

Holder+Muirhead. Masz lichą wyobraźnię, zostaniesz poetą.

[kubus1353]

Holder+Muirhead. Masz lichą wyobraźnię, zostaniesz poetą.

Co jak co ale bez takich pojazdów ;]
a 6-te nie było takie proste, może akurat Tobie udało się wpaść na lemat tak po prostu, ale sądzę, że większość mogła mieć z nim troche problemów... Jak np ja osobiście. W końcu go nie wysłalem.

[The Manager]

witam. mam pytanie odnośnie olimpiady, bo w zasadzie jestem noobem

kiedy mozna sie spodziewac wyników? i czy są już gdzieś wyniki po pierwszych dwóch etapach. z góry dzięki

[slepy_01]

Wyników można się spodziewać dopiero w styczniu, w zależności od okręgu. Nie ma również możliwości poznania swoich wyników po pierwszej i drugiej serii wcześniej. Cierpliwości, jeżeli zrobiłeś 6 zadań do szykuj się do drugiego etapu.

[The Manager]

no własnie z tym moze byc problem. wysłałem 7 zadań, ale z tego co widze to 1 mam najwyraźniej źle (12.) i jedno wątpliwie rozwiazane (6.) + możliwe jakies inne potkniecia po drodze
no ale trudno, pozostaje czekać do stycznia. dzięki bardzo ))