LXII Olimpiada Matematyczna I etap

[Swistak]

A ja bym chciał małego shake'a waniliowego i ciastko jabłkowe. A, no i jeszcze frytki do tego!
Trochę bezproduktywna ta dyskusja, poczekajmy na zadanka, a jak komuś się nudzi, to niech lepiej jeszcze coś pokmini ;p.

[Django]

Z tego, co pamiętam, to jedyne użycie Muirheada w twoim referacie było do udowodnienia nierówności a^n b^m + a^m b^n ge a^p b^q + a^q b^p , gdzie n+m=p+q i n ge p ge q ge m, a to jest coś z czym wielokrotnie się spotkałem już nawet w gimnazjum (dość możliwe, że na konkretnych liczbach, ale to w gruncie rzeczy to samo), a dowód tego jest dość oczywisty. W takim przypadku danie w tytule nierówności Muirheada jest jednym z największym przerostów formy nad treścią, z jakim się w życiu spotkałem.

Żeby już zamknąć temat... w sumie trzeba było tak od razu. Mógłbym wtedy odpisać inaczej. W każdym razie: o tym że można to zwinąć do zwykłego nawiasu oczywiście wiedziałem. Dlaczego tego nie zrobiłem? Z dwóch powodów:
1) nie chciało mi się rozpisywać różnic potęg - brzmi śmiesznie, ale to prawda
2) nie wspomnieć przy okazji nierówności symetrycznych o nierówności Muirheada zakrawa na grzech.
A szerzej o drugim punkcie: nierówność Muirheada wiąże się bardzo ściśle z nierównością AM-GM - to jest oczywiste, a w pracy tej nierówności również poświęciłem uwagę. Idźmy dalej - przy wielomianach symetrycznych, które zwracają... no powiedzmy... 18 składników po jednej i drugiej stronie - co jest szybsze - Muirhead czy zwijanie? Warto też wspomnieć, że dowód tej nierówności pochodzi w pewnym stopniu ze zwijania. Już we wstępie pracy pisałem, że tej nierówności trzeba poświęcić uwagę - a choćby dlatego, że WSZYSTKIE nierówności, które sformułowałem w pracy można Muirheadem udowodnić. Idźmy jeszcze dalej - nierówność Schura - w klasycznej formie (czyli nie mowa tu o formie Vornicu-Schura -choć można by się z nią też posiłować) dla wykładnika (aaa... w sumie dowolnego, ale przyjmijmy że równy jest jeden) przyjmuje postać \(\displaystyle{ T[3,0,0]+T[1,1,1] \ge 2T[2,1,0]}\), gdzie T to wielomian symetryczny na 3 zmienne. Już w jakimś poście pisałem o tej postaci - ale wypada o tym wspomnieć.
O nierówności Muirheada byłaby mowa, gdybyśmy mieli powiedzmy: \(\displaystyle{ T[3,0,0] \ge T [2,1,0]}\)
A tu mamy sumę wielomianów symetrycznych, na których zachodzą nierówności \(\displaystyle{ T[3,0,0] \ge T[2,1,0]}\) i \(\displaystyle{ T[1,1,1] \le T[2,1,0]}\). Nie zsumujemy tych nierówności do naszej formy Schura, bo mamy przeciwne zwroty. Ale jak się okazuje, na mocy Schura, relacja pomiędzy tymi dwoma sumami wielomianów nie jest przypadkowa. To jakby Muirhead nałożony nie na wielomiany, ale na sumy wielomianów. Nierówność Schura w tej postaci kojarzy mi się z AM-GM, a ta to postać Muirheada. Mamy zatem do czynienia z podwójnym Muirheadem...? Może wydać się, że gloryfikuję Muirheada - ale o tym, że to wspaniała nierówność - choć prosta - przyszło mi się przekonać, gdy Ivan Matić w swoim pdfie pokazał, jak przy jej użyciu oraz przy użyciu nierówności Schura rozwalić (bo takim słowem to trzeba określić) w drobny pył nierówność z IMO 2005 - którą zrobiło tylko 55 osób na świecie - w TRZY linijki i niecałe PÓŁ GODZINY - i tyle też mi to zajęło. I to wcale nie jest chamskopałkarskie wymnażanie wszystkiego przez siebie. Muirhead to kultura - jeśli ktoś się nim dobrze posługuje, nie będzie chamsko wymnażał mianowników - a mimo to zobaczy jak układają się stopnie i zniszczy nierówność. Dołożenie Jensena do Muirheada i Schura niszczy wszystko - albo prawie wszystko - dlatego warto te nierówności znać i dobrze nimi się posługiwać. I to jest powód, dla którego umieściłem nierówność Muirheada w tytule pracy. Finis.

A co do postu kolegi smigol,

A ja mam takie pytanie, udowodniłeś tę hipotezę, z którą Mihailescu nie odważył się zmierzyć?

Niestety nie - mogę jedynie powiedzieć, że hipoteza jest związana z liczbami pierwszymi Ramanujana i funkcją pi. Ale że udało mi się wymyślić coś naprawdę hardkorowego, postanowiłem sobie, że schowam problem do szuflady i kiedy nabędę już odpowiednią wiedzę - co mi doradzali szanowni Panowie - postaram się z nim powalczyć za kilka lat - może mi posłuży jako praca doktorska? Niewykluczone...

[Taarion]

W zeszłym roku stereo zrobiło na 6 punktów 143 osób, na 5 punktów - 76 osób, 2 punkty - 86 osób. Nie tak znowu mało.

skąd wytrzaskałeś te dane?
Jest gdzie na necie pełna statystyka tego?

[ordyh]

W książeczkach z opracowaniami olimpiad to jest.

[smigol]

Mam książeczki z olimpiad i tam są pełne statystyki do każdego zadania.

[ElusiveN]

Django. Nie chcę, żebyś zderzył się ze smutną rzeczywistością na półfinale OM, więc napiszę tutaj. Spójrz sobie na nierówności kolejno z drugich etapów: 3 z 47 OM, 3 z 49 OM, 6 z 53 OM, 6 z 56 OM, 3 z 57 OM, 6 z 58 OM i 1 z 60 OM.

A teraz powiedz. Które z nich pocisnąłbyś Muirheadem? Jego minimalne zastosowanie dostrzegam jedynie w zadaniu 3 z 57 OM. Ewentualnie 6 z 58 OM. Ale nie do rozwalenia zadania, tylko do udowodnienia prostego lematu, którego można dowieść prostym AM-GM, ale mimo wszystko najpierw trzeba na niego wpaść, do czego Muirhead Ci nie pomoże.

Co do nierówności z IMO 2005. Wystarczy znać trick, który przez OM przewijał się niejednokrotnie, by zrobić to w mniej więcej tyle, ile Ty, ale bez wielomianów symetrycznych.

I jeszcze nierówność \(\displaystyle{ T\left[ 3,0,0\right] + T\left[ 1,1,1\right] \ge T\left[ 2,1,1\right]}\). Spróbuj udowodnić nierówność ogólniejszą, tj np:

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \succ \gamma \succ \beta}\) , to czy \(\displaystyle{ T\left[\alpha\right] + T\left[\beta\right] \ge T\left[\gamma\right]}\). Gdy to udowodnisz, to będziesz miał powody do dumy, bo niestety, ale skojarzenie, że shur, to tak naprawdę 'dziwny mirhed', nie jest niczym odkrywczym. Daje jedynie powody to refleksji, czy nie jest tak też w innych wypadkach.

[Panda]

Hej, mam pytanko na ostatnią chwilę do ludzików z Warszawskiego.

Jak wygląda zwykle organizacja? Tzn.

1. Wszyscy w jednej sali jak na egzaminie jakimś, czy w mniejszych salach?
2. Jest jakieś żarełko w czasie samych zawodów? (ktoś chyba wspominał)
3. Będzie zegar, czy faktycznie swój wziąć, jak sugeruje strona OM?
4. Jest potem jakiś obiad, jest cokolwiek po pierwszym dniu? (To ostatnie pewnie jest na stronie okręgu, ale jakimś dziwnym trafem strona OM laga złapała ;d)
5. Zawody się zaczynają koło 10, czyli 80 minut po godzinie z terminarza?

Czółko!

[Swistak]

1) W dwóch salach, jednej bardzo dużej, w której piszę z 2/3 osób, a reszta w jakiejś trochę mniejszej.
2) 2 kanapki, herbata i 2 ciasteczka, które są przynoszone po 2h od początku.
3) Przynajmniej w tej dużej sali jest tradycja rysowania zegara na tablicy, uaktualniania go co jakiś czas i pisania ile zostało do końca ;p.
4) Z tego co pamiętam, to rok temu padło pytanie ile osób chciałoby zjeść obiad, bo było jakieśtam górne ograniczenie na liczbę przygotowanych obiadów, ale i tak trochę ich zostało.
5) O 9.

[Panda]

No, to nice, wielkie dzięki za odpowiedzi. Trzeba jakiegoś zegarka na rękę poszukać, trochę śmiesznie byłoby mieć przy sobie taki duży stojący ^^

Ponieważ w ciągu paru godzin pewnie większość już wyjedzie, życzę wszystkim tyle samo szczęścia na II etapie, żeby każdy otrzymał tyle punktów, na ile potrafi:) (bo przecież życzenie wszystkim powodzenia nie ma sensu - chyba, że by wszyscy 70% mieli ^^)

Czółko.

[limes123]

Powodzenia jutro.

[kaszubki]

Powodzenia jutro i pojutrze.

[Prastaruszek]

Dziękuję

[michary91]

Powodzenia!