sfera i zbiór ściągalny
: 13 gru 2008, o 11:05
udowodnij, że jeżeli X jest ściągalnym podzbiorem sfery \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2}\) to \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2\backslash X}\) jest spójny.
Ja by to robił tak:
homotopijna równoważność zachowuje liczbę spójnych składowych (no bo nie da się ściągnąć dwóch spójnych rozłącznych zbiorów do jednego - gdyby się dało można by skonstruować podział zbioru spójnego na dwie spójne składowe)
Zatem \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2 \backslash X}\) jest homotpijnie równoważna sferze bez punktu, która jest zbiorem spójnym. czyli na mocy tego co wcześniej \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2 \backslash X}\) jest zbiorem spójnym.