Matematyka.pl

1.Wykaż, że dowolna przestrzeń skończona jest zwarta.

2.Pokaż, że przestrzeń antydyskretna jest przestrzeni� zwartą.

Quote:

2.Pokaż, że przestrzeń antydyskretna jest przestrzenia; zwartą.

no tak, ale... w def przestrzeni zwartej zakladamy \(\displaystyle{ T_2}\)

1. Niech \(\displaystyle{ V_1,...,V_n}\) beda takimi zbiorami z pewnego pokrycia otwartego skonczonej przestrzeni \(\displaystyle{ \{x_1,...,x_n\}}\), ze \(\displaystyle{ x_i\in V_i}\). Jest to podpokrycie skonczone.

2. W topologii antydyskretnej pokrycie otwarte dowolnego niepustego zbioru ma jeden element, mianowicie cala przestrzen. Wobez tego kazde pokrycie jest skonczone i tym bardziej z kazdego pokrycia mozna wybrac podpokrycie skonczone.

(Aktualnie standardowo nie zaklada sie, ze przestrzen zwarta jest Hausdorffa. To raczej ludzie, ktorym jest tak wygodniej zdefiniowac, bo np. chca, zeby przestrzenie zwarte byly automatycznie normalne, zaznaczaja to wyraznie.)

Prawda jest taka, że wszystkie sensowne twierdzenia dotyczą tylko przestrzeni zwartych, które są hausdorffa. Dlatego większość topologów których znam włącza\(\displaystyle{ T_2}\) do definicji.