dowod zasady Archimedesa

[Aram]

Jak udowodnic jedna z zasad Archimedesa, mianowicie :

\(\displaystyle{ \forall x,y \in \RR, x<y \exists p\in \QQ : x<p<y}\) czyli ze zbior liczb wymiernych jest gesty w \(\displaystyle{ \RR}\).


pzdr.

[juzef]

Niech \(\displaystyle{ x,y}\) będą liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ x>y}\). Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą, spełniającą warunek \(\displaystyle{ k>\frac{2}{x-y}}\). Z założenia \(\displaystyle{ x-y>0, k>0}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}<\frac{x-y}{2} \\
y<\frac{x+y}{2}-\frac{1}{k} \\
y<\frac{xk+yk-2}{2k}<\frac{[xk]+[yk]}{2k}\leq \frac{x+y}{2}<x}\).

A liczba \(\displaystyle{ \frac{[xk]+[yk]}{2k}}\) jest wymierna.

Nie gwarantuję poprawności tego dowodu.

[Aram]

dowod wydaje sie poprawny... dzieki