Szukając zbioru...

Sumamed · Post autor: **Sumamed** » 9 maja 2005, o 22:51

Pokazać, że istnieje podzbiór \(\displaystyle{ X R}\) (zb. liczb rzeczywistych) o następujących własnościach:
1. \(\displaystyle{ \forall x,y X}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(x+y)\in X}\)
2. \(\displaystyle{ \forall x,y X}\) odwzorowanie tożsamościowe jest jedynym homeomorfizmem X w X.

Bardzo przydałoby mi się rozwiązanie tego zadania

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 13 maja 2005, o 20:10

Zasadniczo jeszcze jestem laikiem jeśli chodzi o Topologię ale wydaje mi się że zbiór
X={0} spełnia tezę...

Arek · Post autor: **Arek** » 14 maja 2005, o 09:05

Cóż ... widziałem już to zadanie i musze powiedzieć, że mam wątpliwości takie...

NO bo ... jeżeli ten zbiór jest jednopunktowy - to jasne - że jest jak mówił Ptolemeusz - czyli każdy pojedynczy punkt spełnia.

Jeżeli jednak miałoby być ich więcej, to się sprawa robi nieciekawa, bo:

- jeżeli X zawiera dwa punkty, to zawiera ich nieskończenie wiele
- jeżeli zawiera 2 punkty, to oprócz identyczności jest jeszcze symetria osiowa - a zatem homeomorfizm - dodawanie kolejnych punktów nic nie zmienia - symetria pozostaje - zatem ... i tu nie wiem, czy wniosek z tego, że X nie może mieć więcej niż 1 punktu, ale tak bym ryzykował...

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 14 maja 2005, o 19:53

no właśnie też sie zastanawiałem "ile" takich zbiorów jest ... tzn contunium jest pewne ale właśnie myślałem o tych innych niż jednoelementowe, ale nie byłem pewien co to za z odwzorowanie homeomorficzne? czy ciągła bijekcja ?

Arek · Post autor: **Arek** » 14 maja 2005, o 19:57

z f(X) -> Y - ciagla bijekcja
f-1(Y) -> X - ciagła bijekcja

wtedy f to homeomorfizm

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 14 maja 2005, o 20:45

no tak o odwrotności zapomniałem...
dzięki

Sumamed · Post autor: **Sumamed** » 15 maja 2005, o 22:21

No nie wiem, czy zbiór jednoelementowy X={0} bedzie dobry... chyba raczej nie spełnia drugiego warunku - bedzie chyba wiecej takich homeomorfizmow, np. \(\displaystyle{ x^3}\)

Arek · Post autor: **Arek** » 16 maja 2005, o 12:49

\(\displaystyle{ x^3}\) jest funkcją nieparzystą, to chyba odpada ...

Ptolemeusz · Post autor: **Ptolemeusz** » 16 maja 2005, o 18:29

nieeeeee mylisz sie jest w ogóle jedno przekształcenie...
a że może być różnymi wzorami opisane to inna sprawa...