Iloczyn skalarny + dlugosc wektora + kat pomiedzy wektorami

[Przemek R.]

Witam wklejam fragment posta z grupy mateatycznej:

> Niech fi:R^3XR^3 -> R bedzie iloczynem skalarnym w przestrzeni R^3 zadanym
> wzorem
> fi((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2+x3y3
>
> znalezc
> a) dlugosc wektora (0,1,1)
> b) kat pomiedzy wektorami (1,0,0) i (0,1,0)
>
> Jak obliczyc dlugosc wektora wiem, kat rownież wiem, tylko nie wiem po co
> ten wzór
> na gorze

Po to, żebyś wszystkie obliczenia wykonywał w zdefiniowanym
powyżej iloczynie skalarnym, a _nie_ w standardowym
iloczynie skalarnym zdefiniowanym na stronie, do której
podałeś linki.


NIe wiem jak sie przeprowadza takie obliczenia w iloczynie skalarnym,
bylbym wdzieczny za przyklad,
na jakims prostym przykladzie, jawiem np
((x1,x2),(y1,y2))=x1y1+x2y2+2x2y1

wektory jakies dowolne. Chcialbym po prostu to "zaqmac"

Dziekuje i pozdrawiam

P.

[Arek]

Mógłbyś się zarejestrować:

Nie, no umówmy się, że iloczyn skalarny to iloczyn skalarny i basta.
Napisane jest natomiast przekształcenie, które być może stanowi swego rodzaju inną metrykę: ale jeżeli tak, to wiesz, że:

- iloczyn skalarny z DEFINICJI to iloczyn długości wektorów i cosinusa kąta między nimi

Jeżeli zatem ktoś, kto podał wzór powyższy, chce miec długość poj. wektora - to dajmy mu zadość: na podstawie naszej definicji:

- długość wektora to pierwiastek iloczynu skalarnego dwóch jednakowych wektorów - innymi słowy - kąt między dwoma wektorami to 0, cos(0)=1, a zatem długość wektora (0,1,1), to:

sqrt(0^2+0*1+1*0+2*1*1+1^2)=sqrt(3)

Czyli ogólny wzór na długość wektora (a,b,c) to:

sqrt(a^2+2ab+2b^2+c^2)

Zatem jak w nowej definicji policzyć kąt pomiędzy (1,0,0) a (0,1,0) ?

Kąt to arccos z ilorazu "iloczynu skalarnego wektorów"/iloczyn "długości wektorów"

A zatem: kąt= arccos((0+1+0+0+0)/(1+0+0+0)*(0+0+1+0))=
=arccos(1).
Arcus to odwócenie, czyli pytasz się nie ile to cos(1), tylko dla jaiego x cos to 1, a to jest 0. Zatem kąt pomiędzy tymi wektorami to 0, wg nowej definicji.

To nic dziwnego, po prostu ten iloczyn skalarny wg nowej definicji określił inną metrykę w R^3 i zmienił trochę pojęcie kąta pomiędzy wektorami.

[Gość]

mógłbyś być ścislejszy. Iloczyn skalarny generuje wpierw normę, a w zasadzie na tym nam zalezy gdy chodzi o wektory

[Arek]

Racja, racja, przepraszam - oczywiście, że generuje normę, ale w sumie mieliśmy podaną R^3, więc o istnienie normy nie musiałem się obawiać. Choć oczywiście Masz rację...

[prokicki]

Mógłbyś się zarejestrować:
Własnei to zrobilem, nie wiedzialem czy jest sens, teraz wiem ze tak,
nie spodziewałem sie az tak szybkiej i rozwinietejk odpowiedzi



- iloczyn skalarny z DEFINICJI to iloczyn długości wektorów i cosinusa kąta między nimi


a iloczyn skaarny nie zdefinicji to wtedy gdy nie mamy
podanego wzoru tak?





- długość wektora to pierwiastek iloczynu skalarnego dwóch jednakowych wektorów - innymi słowy - kąt między dwoma wektorami to 0, cos(0)=1, a zatem długość wektora (0,1,1), to:

Skad te zero, iloczyn skalarny z wektorow (0,1,1) i (0,1,1)
wynosi 0*0 + 1*1 + 1*1 = 2 czyli sqrt(2) nie qmam


sqrt(0^2+0*1+1*0+2*1*1+1^2)=sqrt(3)

acha, teraz chyba zaqmalem, wszystko musze podstawiac do powyzszego
wzrou?

Czyli ogólny wzór na długość wektora (a,b,c) to:

sqrt(a^2+2ab+2b^2+c^2)


oj chyba znow sie pogubilem. Skąd to Pan wział?

Zatem jak w nowej definicji policzyć kąt pomiędzy (1,0,0) a (0,1,0) ?

Kąt to arccos z ilorazu "iloczynu skalarnego wektorów"/iloczyn "długości wektorów"

zgadza sie, taki wzor, ale zgodnie z tym co jest napisane tutaj:
... a/repetyt/
jest to cos(fi) a nie arccos , znow sie gubie..


A zatem: kąt= arccos((0+1+0+0+0)/(1+0+0+0)*(0+0+1+0))=
=arccos(1).
Arcus to odwócenie, czyli pytasz się nie ile to cos(1), tylko dla jaiego x cos to 1, a to jest 0. Zatem kąt pomiędzy tymi wektorami to 0, wg nowej definicji.

co to jest (0+1+0+0+0) i czemu do tych 2 wektorów
dopisal Pan zera na koncu?



Ps.
Pan jest administratorem? Nie myslal Pan o zmianie stylu ze standardowego na jakis inny?
Znalazlem calkiem fajny, dzis instalowalem, moge podeslac,
tutaj mozna zobaczyc: assembler.g5.pl

[Arek]

Dzięki wielkie za rejestrację...
Nie jestem Administratorem, a moderatorem. I jestem na tym forum 2 dni dłużej od Pana. Po prostu bardzo mi się tu spodobało: pomyślałem, że dyskusje to fajna rzecz. Co do pytań:

Iloczyn skalarny "nie z definicji" - no cóż - ja nie poznawałem definicji iloczynu skalarnego wektorów na podst. wzoru. To nie tak. Wczoraj pojawiła się tu cenna uwaga, że iloczyn skalarny generuje normę danej przestrzeni (którą można unormować). A... "zwykły wzór" na ów iloczyn, to jest taki, jaki Pan napisał, że zna. Ale on może być zupełnie inny. On po prostu opisuje sposób opisu długości wektorów i ich odległości od "początku układu współrzędnych" - nie chciałbym zbyt uścislać, a boje się też o "nieprecyzyjność". To, że przedstawił Pan inny wzór nic nie zmienia w samej przestrzeni R^3. Zmienia sposób jej opisu (pewnych własności).

Skąd wzór na długość wektora? No, mamy wg NOWEGO wzoru, iloczyn dwóch jednakowych wektorów, a zatem x_1=y_1, x_2=y_2, x_3=y_3. A zatem przyjmując x_1=y_1=a, x_2=y_2=b, x_3=y_3=c, to długość wektora (a,b,c) w unormowanej nowym wzorem R^3 wyraża się wzorem:

sqrt(a^2+2ab+2b^2+c^2)

Co do tych zer...

Przepraszam, ten nawias to nie były wektory, tylko już obliczenia. Co z arcusem? Mamy:

iloczyn skalarny(A,B)=długość A*długość B*cos(kąta pomiędzyAiB)

Stąd chyba pomysł jak wyznaczyć kąt...

Pozdrawiam

[Gość]

Przepraszam, ten nawias to nie były wektory, tylko już obliczenia. Co z arcusem? Mamy:

iloczyn skalarny(A,B)=długość A*długość B*cos(kąta pomiędzyAiB)

Stąd chyba pomysł jak wyznaczyć kąt...

A zatem: kąt= arccos((0+1+0+0+0)/(1+0+0+0)*(0+0+1+0))=
=arccos(1).

Jednak nadal nie rozumiem skad te obliczenia.

Czesc a) pojałem i strasznie dziękuje.

P.

[prokicki]

no dorba doszedlem do czegos takiego:

cos fi = 0 / 2*3 = 0/6 = 0
czyli cos 0 to jest odpowiedz?

na dole policzylem dlugosci wektorow tak jak w a) i pomnozeylem prez siebie
a w liczniku policzylem iloczyn skalrany wektorow (100)(010) i
przepuscilem wynik przez wzor (x1x2x3)(y1y2y3)

P.

[Arek]

Nie rozumiem...

Długość wektora (abc) w nowej definicji to:

sqrt(a^2+2ab+2b^2+c^2)

po podstawieniu dla (100) mamy:

sqrt(1^2+2*1*0+2*0^2+0^2)=1

dla (010)

sqrt(0^2+2*0*1+2*1^2+0^2)=sqrt(2)

Hmmm... rzeczywiście się pomyliłem

A iloczyn skalarny ze wzoru:

fi((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2+x3y3

Czyli: fi((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=0+1+0+0+0=1

Zatem ostatecznie: cos fi = 1/sqrt(2)

Zatem źle kąt wyszedł - od początku to było dziwne, że to 0, a kąt (dajmy na to ostry, dla którego cos to sqrt(2)/2 to pi/4.

Pozdrawiam