Znalezc wymiar jadra i obrazu przeksztalcenia

[Przemek R.]

Witam!
Jezeli byloby to mozliwe prosze o schemat takiego zadania (nie def. te znam)

znalezc wymiar jadra i obrazu przeksztalcenia fi: R^4->R^3 zadanego wzorem fi(x,y,z,w)=(x+y,x+w,z-w)

Z gory dziekuje i pozdrawiam

[Arek]

Słuchaj, przekształcenie wygląda na jakieś regularne, tzn., to jest - juz pomijając fakt, że z R^4, mamy do czynienia z parametrycznie zadaną rozmaitością w R^3.

Ale nie wiem... Gdybyto przekształcenie miało jakąś postac konkretnie algebraiczną typu: fi(x,y,z)=?, to byłoby już prościej...

Sorry, ale poszukam... Obiecuję...

Pozdrawiam

[Gość]

ja jestem ciekawa czy masz poblem z wyznaczeniem tych przestrzeni, czy z wyznaczeniem ich wymiaru.
1) Wyznaczanie jadra przekształcenia:
czyli szukamy wszystkich wektorów, dla których wartość przekształcenia jest wektorem zerowym.
Czyli po ludzku to bierzesz "przepis" odwzorowania i przyrównujesz do wektora zerowego.
2) Wyznaczenie obrazu. To jest prostsze gdy masz jawny wzór funkcji. Obrazem odwzorowania są po prostu wektory które da się zapisac w takiej postaci jaką wskazuje przepis funkcji
3) wyznaczenie wymiaru przestrzeni. najpierw wyznaczymy bazę- ilośc wektorów w niej to wymiar przestrzeni. Definicje z resztą znasz więc może wyznaczymy wymiar obrazu na przykładzie tej funkcji którą podałeś. Czyli:
Im f={v: v=(x+y,x+w,z-w)} trzeba zauważyć, że (x+y,x+w, z-w)=x*(1,1,0)+y*(1,0,0)+w*(0,1,-1)
wektory (1,1,0) (1,0,0) (0,1,-1) są liniowo niezależne i generują Imf więc stanowią baze, czyli dim Im f=3