Twierdzenie Baire`a o kategorii - zadanko

[pw1822]

Mógłby ktoś pomóc bo mam problemik z takim zadankiem

Niech każdemu punktowi \(\displaystyle{ (x_{1}, 0)}\) osi OX, gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest liczbą niewymierną będzie przyporządkowana pewna liczba rzeczywista \(\displaystyle{ r_{x}>0}\) i niech \(\displaystyle{ K_{x}=K(y_{x}, r_{x})}\) będzie kulą oraz \(\displaystyle{ y_{x}=(x_{1}, r_{x})}\). Korzystająć z twierdzenia Baire`a o kategorii pokazać, że suma zbiorów \(\displaystyle{ B_{x}}\) zawiera wnętrze pewnego kwadratu przylegającego do osi OX.

[x_x_x]

Podzielmy zbiór liczb niewymiernych na takie podzbiory \(\displaystyle{ A_{n}}\), że każdy z tych zbiorów zawiera tylko te liczby niewymierne dla których promienie przyporządkowanych im kul są co najmniej równe \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i nie większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\). Zauważmy, że wystarczy pokazać iż istnieje odcinek na którym dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) zbiór \(\displaystyle{ A_{n}}\) jest gęsty, tj. każda kula zawarta w tym odcinku musi zawierać punkty zbioru \(\displaystyle{ A_{n}}\). Wtedy bez problemu byśmy znależli taki mały kwadracik o boku zawartym w tym odcinku dla którego (korzystając z gęstości odcinka naszego) każdemu punktowi wnętrza tego kwadratu bez problemu znajdziemy odpowiednią kulę wktórej jest on zawarty (wykorzystując fakt iż promień każdej kuli przyporządkowanej każdemu punktowi tego odcinka ze zbioru \(\displaystyle{ A_{n}}\) jest większy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)). Zatem przedstawmy zbiór liczb niewymiernych w postaci sumy \(\displaystyle{ \left.\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\right.}\). Zauważmy że każdy zbiór jednoelementowy jest nigdziegęsty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Przedstawmy więc zbiór liczb wymiernych w postaci sumy takich właśnie zbiorów jednoelementowych tj. ustawmy je w ciąg \(\displaystyle{ \{q_{n}\}}\). Przedstawmy z kolei zbiór liczb rzeczywistych w postaci sumy \(\displaystyle{ \left.\sum_{n=1}^{\infty}\right. A_{n}\cup q_{n}}\). Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jak wiemy jest zupełna. Jak widać co najmniej jeden ze biorów \(\displaystyle{ A_{n}\cup q_{n}}\) (a co za tym idzie zbiór \(\displaystyle{ A_{n}}\)) musi być gęsty na pewnym odcinku w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ponieważ w przeciwnym wypadku suma ta musiałaby być na mocy tw. Baire`a o kategorii zbiorem brzegowym w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) co by było sprzeczne z tym że jest ona całym zbiorem liczb rzeczywistych.

Tak więc mozna powiedzieć że zadanko jest zrobione. Co prawda szczegóły trzeba by jeszcze dopracować, ale generalnie całą ideę przedstawiłem:))