Topologia produkty

[polax12]

Mam do robienia dwa zadania z topologii.

1. Udowodnij twierdzenie mówiące, że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A_0,A_1}\) para rzutowań

\(\displaystyle{ (\pi_0:A_0\times A_1 \rightarrow A_0,\ \pi_1:A_0\times A_1 \rightarrow A_1)}\)

gdzie dla każdego \(\displaystyle{ i=0,1,\ \pi_i(\alpha_0,\alpha_1)=\alpha_i}\) jest stożkiem nad rodziną indeksowaną \(\displaystyle{ (A_i)_{i\in\{0,1\}}}\) i jest to stożek uniwersalny

2. Udowodnij twierdzenie o odwzorowaniu przekątniowym.

Twierdzenie (o odwzorowaniu przekątniowym):
Dla każdej rodziny indeksowanej \(\displaystyle{ \left( X_i,\mathcal{T}_i\right)_{i\in I} }\) przestrzeni topologicznych, stożek

\(\displaystyle{ \left(\text{pe}_i : \left( \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_\Pi\right) \rightarrow \left( X_i,\mathcal{T}_i\right) \right)_{i\in I}}\)

jest stożkiem uniwersalnym.


Będę wdzięczna za najmniejsze podpowiedzi

[Dasio11]

1. Dla dowolnego innego stożka \(\displaystyle{ \tau_0 : X \to A_0, \tau_1 : X \to A_1}\) wystarczy zdefiniować \(\displaystyle{ \tau : X \to A_0 \times A_1}\) jako \(\displaystyle{ \tau(x) = (\tau_0(x), \tau_1(x))}\) i sprawdzić, że spełnia wymagane warunki.

2. Analogicznie.