Własności zbiorów zwartych
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
Własności zbiorów zwartych
1.czy jesli A,B zwarty to czy z tego wynika ze ich suma jest zbiorem zwartym.
2.Czy jesli A zwarty to czy pochodna zbioru jest takze zbiorem zwartym.
3.czy jesli A zwarty to czy jego brzeg też bedzie zwarty
odpowiedz uzasadnij.
2.Czy jesli A zwarty to czy pochodna zbioru jest takze zbiorem zwartym.
3.czy jesli A zwarty to czy jego brzeg też bedzie zwarty
odpowiedz uzasadnij.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Własności zbiorów zwartych
Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Własności zbiorów zwartych
Ustalmy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Rozważmy pokrycia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio
ze zwartości z tych pokryć można wybrać podpokrycia skończone
tu zaznaczam, że zbiory indeksów są skończone \(\displaystyle{ \left| I_{A}\right|,\left| I_B\right|< \infty }\). Tak na oko \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I_A \text{ lub }i\in I_B\right\} }\) powinien być skończonym pokryciem \(\displaystyle{ A \cup B}\).
PS Uważam, że
\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)
ze zwartości z tych pokryć można wybrać podpokrycia skończone
\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I_{A}\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I_{B}\right\}}\)
tu zaznaczam, że zbiory indeksów są skończone \(\displaystyle{ \left| I_{A}\right|,\left| I_B\right|< \infty }\). Tak na oko \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I_A \text{ lub }i\in I_B\right\} }\) powinien być skończonym pokryciem \(\displaystyle{ A \cup B}\).
PS Uważam, że
- nawet \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) można potraktować jako pokrycie \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i nie trzeba nic przekrawać. Wyciągamy z \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) podpokrycie skończone zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i sumujemy,
- zadanie jest niezależne od topologii.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Własności zbiorów zwartych
Janusz Tracz, przecież zwartość działa tylko dla pokryć otwartych. Te pokrycia
otwarte być nie muszą.Janusz Tracz pisze: ↑13 sty 2022, o 22:55\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Własności zbiorów zwartych
W \(\displaystyle{ A}\) i w \(\displaystyle{ B}\) są (relatywnie) otwarte. A to tam stosujemy zwartość i wyciagnięcie podpokryć skończonych.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 5 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Własności zbiorów zwartych
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ T_2}\) to
- \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty zatem \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \setminus \text{int}\, A =A \setminus \text{int}\, A \subset A}\),
- zbiór \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \cap \text{cl}\,A^{\mathrm{c}}}\) więc jest domknięty,
- domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte.