Dzień dobry,
Pracuję właśnie nad jednym zadaniem i byłbym bardzo wdzięczny za ocenę poprawności moich rozwiązań i ewentualne wskazówki.
a) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest ograniczona.
Weźmy \(\displaystyle{ x_{0}\in X }\), wtedy \(\displaystyle{ X \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} K(x_{0},n) }\). Jednak \(\displaystyle{ X }\) jest zwarta, zatem istnieje takie \(\displaystyle{ N \in\mathbb{N} }\), że \(\displaystyle{ X \subset \bigcup_{n=1}^{N} K(x_{0},n) }\), czyli przestrzeń jest ograniczona.
b) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest zupełna.
Niech \(\displaystyle{ x_{n} }\) będzie ciągiem Cauchy'ego. Skoro przestrzeń jest zwarta, to ciąg ten posiada podciąg zbieżny. Jednak jako ciąg Cauchy'ego, sam musi być zatem zbieżny. To kończy dowód.
c) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest ośrodkowa. Na tej podstawie wywnioskować, że \(\displaystyle{ X }\) jest mocy conajwyżej continuum.
Tutaj niestety nie mam pomysłu jak to w ogóle ruszyć.
Własności przestrzeni zwartych.
-
- Użytkownik
- Posty: 22209
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Własności przestrzeni zwartych.
a,b są ok
Wsk do c). Czy potrafisz wskazać skończony zbiór `A_n`, taki, że dla każdego `x\in X` zachodzi `d(x,A_n)<1/n`?
Wsk do c). Czy potrafisz wskazać skończony zbiór `A_n`, taki, że dla każdego `x\in X` zachodzi `d(x,A_n)<1/n`?