Własności przestrzeni zwartych.

[h2822]

Dzień dobry,

Pracuję właśnie nad jednym zadaniem i byłbym bardzo wdzięczny za ocenę poprawności moich rozwiązań i ewentualne wskazówki.

a) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest ograniczona.
Weźmy \(\displaystyle{ x_{0}\in X }\), wtedy \(\displaystyle{ X \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} K(x_{0},n) }\). Jednak \(\displaystyle{ X }\) jest zwarta, zatem istnieje takie \(\displaystyle{ N \in\mathbb{N} }\), że \(\displaystyle{ X \subset \bigcup_{n=1}^{N} K(x_{0},n) }\), czyli przestrzeń jest ograniczona.

b) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest zupełna.
Niech \(\displaystyle{ x_{n} }\) będzie ciągiem Cauchy'ego. Skoro przestrzeń jest zwarta, to ciąg ten posiada podciąg zbieżny. Jednak jako ciąg Cauchy'ego, sam musi być zatem zbieżny. To kończy dowód.

c) Pokazać, że metryczna przestrzeń zwarta \(\displaystyle{ X }\) jest ośrodkowa. Na tej podstawie wywnioskować, że \(\displaystyle{ X }\) jest mocy conajwyżej continuum.
Tutaj niestety nie mam pomysłu jak to w ogóle ruszyć.

[a4karo]

a,b są ok
Wsk do c). Czy potrafisz wskazać skończony zbiór `A_n`, taki, że dla każdego `x\in X` zachodzi `d(x,A_n)<1/n`?