Odległość między zbiorami.

[h2822]

Dzień dobry,

Zmierzyłem się niedawno z takim zadaniem i prosiłbym o ocenę poprawności moich rozwiązań. Treść brzmiała następująco:

Dla podzbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ X}\), odległości między zbiorami zdefiniowanej jako \(\displaystyle{ d(A,B) = \inf\left\{ d(a,b): a \in A, b \in B\right\}}\) :

a) Podać przykład dwóch rozłącznych zbiorów takich, że \(\displaystyle{ d(A,B) = 0 }\).
Dosyć oczywistym przykładem są zbioru \(\displaystyle{ A = (0;1)}\), \(\displaystyle{ B = (1,2)}\).

b) Czy można wskazać dwa zbioru domknięte spełniające taki sam warunek?
Moim pomysłem było przedstawienie zbiorów \(\displaystyle{ A = \left\langle 0;1 \right\rangle }\) oraz \(\displaystyle{ B = \bigcup_{n=1}^{ \infty } \left\langle 1+ \frac{1}{n} ; 2\right\rangle }\).

c) Pokazać, że jeśli zbiory są zwarte i rozłączne, to \(\displaystyle{ d(A,B) > 0 }\).
Próbowałem tego dowodzić w następujący sposób:
Na rzecz dowodu nie wprost założyłem, że \(\displaystyle{ d(A,B) = 0 }\).
Rozważałem funkcję \(\displaystyle{ d(x,B) = \inf\left\{ d(x,b): b \in B\right\}}\), o której wiem, że jest ciągła, a jako że dodatkowo jest określona na zwartej dziedzine, to wiem, że istnieje taki argument \(\displaystyle{ x_{0} }\) w X, dla którego \(\displaystyle{ d\left(x_{0},B\right) = 0}\). Skoro zatem \(\displaystyle{ d\left(x_{0},B\right) = 0}\), to \(\displaystyle{ x_{0} }\) musi należeć do domknięcia zbioru B. Jednak zbiór B jest domknięty (co wynika z jego zwartości), więc pojawia się sprzeczność z rozłącznością zbiorów.

Czy takie rozwiązania są poprawne? Byłbym wdzięczny za wszelką pomoc.

[Dasio11]

(a) i (c) są dobre, a w (b) zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest domknięty bo to w istocie \(\displaystyle{ \left( 1, 2 \right>}\).

[h2822]

(a) i (c) są dobre, a w (b) zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie jest domknięty bo to w istocie \(\displaystyle{ \left( 1, 2 \right>}\).

Hmm, faktycznie nie przemyślałem do końca tej kwestii, ale w międzyczasie natknąłem się w internecie na inny przykład, który raczej już w oczywisty sposób spełnia te założenia. Więc to zadanie mam już chyba załatwione. Bardzo dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ A = \mathbb{N} }\) oraz \(\displaystyle{ B = \left\{ n+\frac{1}{2n} : n \in\mathbb{N} \right\} }\).

[a4karo]

OK> A teraz się zastanów dlaczego zbiory w kontrprzykładzie muszą być nieograniczone

[h2822]

OK> A teraz się zastanów dlaczego zbiory w kontrprzykładzie muszą być nieograniczone

Chodzi o ten przykład z podpunktu b? Bo jeśli tak, to szczerze nie do końca wiem. Pierwsze co przyszło mi do głowy, to że gdyby były ograniczone, to ze względu na ograniczoność i domkniętość byłyby też zwarte, a przy okazji zupełne, ale nie do końca wiem co dalej z tego wynika.

[a4karo]

Dobrze kombinujesz: co wiesz o kresach funkcji ciągłej określonej na zbiorze zwartym?

[Dasio11]

Pierwsze co przyszło mi do głowy, to że gdyby były ograniczone, to ze względu na ograniczoność i domkniętość byłyby też zwarte [...], ale nie do końca wiem co dalej z tego wynika.

Wynika teza, bo dostajesz sytuację z podpunktu (c).