Homeomorfizm między odcinkami.

[h2822]

Dzień dobry,

Mam lekki problem z zadaniem, którego treść brzmi: Pokazać, że odcinek otwarty \(\displaystyle{ I = (0;1) \subset \mathbb{R}}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ I' = (0;1) \times \left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R} }\) oraz pokazać, że I' nie jest zbiorem otwartym. O ile dobrze rozumiem, homeomorficzność można łatwo wykazać poprzez wskazanie funkcji homeomorficznej między zbiorami \(\displaystyle{ f(x) = (x,0) }\), jednak nie wiem jak wykazać drugą cześć problemu. Byłbym wdzięczny za wszelką pomoc.

[Jan Kraszewski]

A co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny jest otwarty?

JK

[h2822]

A co to znaczy, że podzbiór płaszczyzny jest otwarty?

Zastanowiłem się nad tym chwilę i doszedłem do wniosku, że powodem, dla którego ten zbiór nie może być otwarty, jest to że kula o dowolnym promieniu i o środku w punkcie należącym do \(\displaystyle{ I'}\) nie zawiera się w samym \(\displaystyle{ I'}\). Nie wiem, czemu wcześniej o tym nie pomyślałem, ale wydaję mi się, że to rozumowanie jest poprawne?

[Jan Kraszewski]

Tak, ten zbiór ma puste wnętrze.

JK