Topologia - klasyki

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Topologia - klasyki

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Czy każda przestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni metrycznej w ciągłym odwzorowaniu otwartym jest metryzowalna ?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Topologia - klasyki

Post autor: arek1357 »

Jakby rozpatrzył płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\)

I zbiór \(\displaystyle{ X}\) wziął jako:

\(\displaystyle{ X= \left\{ (\frac{1}{n} + \frac{1}{nm} ,2); n=1,2,3,...,... ; m=n,n+1,n+2,...\right\} \cup \left\{ ( \frac{1}{n},1); n=1,2,3,... \right\} \cup \left\{ (0,2)\right\} }\)

Czyli to taki zbiór ciągów bez swoich granic wyżej i o szczebel niżej te granice...

A \(\displaystyle{ Y}\) to co spadnie na ziemię z góry czyli te same współrzędne ixowe ze współrzędną ygrekową zero...

Czyli ciągi wraz z ich granicami.

Wszystko z topologią indukowaną (naturalną) z płaszczyzny

I jako \(\displaystyle{ f}\) weźmiemy zwykłe rzutowanie:

\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) Odwzorowanie jest otwarte i ciągłe...

\(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią Hausdorfa , każde dwa punkty można oddzielić...

Ale nie jest regularny bo jak weźmiemy punkt \(\displaystyle{ \left\{ (0,0)\right\} }\) i zbiór domknięty \(\displaystyle{ D=\left\{ ( \frac{1}{n},0) ;n=1,2,3,...\right\} }\)

to widać, że nie da się ich rozdzielić zbiorami otwartymi...

A co za tym idzie \(\displaystyle{ Y}\) nie musi być metryzowalna...
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Topologia - klasyki

Post autor: Dasio11 »

Jeśli na \(\displaystyle{ Y}\) ma być topologia euklidesowa, to w oczywisty sposób jest to przestrzeń metryzowalna. A jeśli jakaś inna, to nie napisałeś jaka.

Zresztą nie da się tak określić topologii na \(\displaystyle{ Y}\), żeby spełniała warunki zadania, bo \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, więc jeśli ma być jeszcze otwarta i ciągła, to musi być homeomorfizmem.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Topologia - klasyki

Post autor: arek1357 »

Tak masz rację ale jeszcze myślę jakby ustawić topologię na Y

Dodano po 12 godzinach 51 minutach 32 sekundach:
Właśnie nie powinna być różnowartościowa co skłoniło mnie do zmiany zbiory Y czyli docelowego, otóż jakby:

Dodano po 1 godzinie 37 minutach 6 sekundach:
Zmodyfikować najpierw \(\displaystyle{ X}\)

\(\displaystyle{ X=\left\{ ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},2) \right\} \cup \left\{ ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},1) \right\} \cup \left\{ ( \frac{1}{n},1) \right\} \cup \left\{ (0,2)\right\} }\)

Czyli powiększyłem \(\displaystyle{ X}\) o dolne takie punkty o współrzędnych ixowych takich samych a dochodzą \(\displaystyle{ y=1}\)

A teraz Y żeby zaplątać sprawę , tzn. punkty w \(\displaystyle{ Y}\) traktuję jako pary punktów i pojedyncze punkty na zasadzie:

\(\displaystyle{ Y=\left\{ \left[ ( \frac{1}{n},1)\right] ,n=1,2,3,... \right\} \cup \left\{\left[ ( \frac{1}{n} + \frac{1}{nm},2) \cup ( \frac{1}{n} + \frac{1}{nm},1) \right] \right\} \cup \left\{ \left[ (0,2)\right], m \ge n \right\} }\)

Teraz to co w nawiasach kwadratowych robi za punkty...(niektóre) punkty są jakby podwójne ... takie jakby klasy... co może pozwoli na zaplątanie tego...

Przekształcenie f nie będzie 1:1 tylko punktum zbioru X przyporządkowujemy odpowiednie klasy:

\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\)

np:

\(\displaystyle{ f ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},2) =f ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},1) =\left\{ \left[( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},2) \cup ( \frac{1}{n}+ \frac{1}{nm},1) \right] \right\} }\)

\(\displaystyle{ f( \frac{1}{n} ,1) =\left[ \frac{1}{n} ,1\right] }\)

\(\displaystyle{ f(0,2)=[0,2]}\)

I tu topologię generujemy poprzez \(\displaystyle{ f }\)

Skoro \(\displaystyle{ U}\) otwarte w \(\displaystyle{ X}\) to \(\displaystyle{ f(U)}\) otwarte w \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ Y}\) wyglada na Hausdorfa, ale np. Punktu \(\displaystyle{ [(0,2)]}\) nie da się raczej oddzielić od zbioru domkniętego:\(\displaystyle{ \left\{ \left[ \left( \frac{1}{n},2 \right)\right] ; n=1,2,3,...\right\} }\)

Zbiorami otwartymi...
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Topologia - klasyki

Post autor: Dasio11 »

Pomimo wątpliwego opisu ten przykład jest chyba poprawny.

Zaproponuję inny, pokazujący że aby zaszła teza zadania nie wystarczy nawet założenie normalności. Rozważmy przestrzenie: \(\displaystyle{ X = \omega_1}\) z topologią porządkową, \(\displaystyle{ Y = \omega_1}\) z topologią dyskretną i \(\displaystyle{ Z = \{ (\alpha, \beta) \in X \times Y : \alpha < \beta \}}\) z topologią indukowaną z produktowej, a do tego rzutowanie na pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ \pi : Z \to X}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \pi}\) jest ciągłą surjekcją. \(\displaystyle{ Z}\) jest metryzowalna, bo jest sumą rozłączną przestrzeni \(\displaystyle{ Z^{\beta} = \beta}\) dla \(\displaystyle{ \beta < \omega_1}\), a każda przeliczalna liczba porządkowa jest metryzowalna, bo można ją zanurzyć w \(\displaystyle{ \RR}\) (łatwy dowód indukcyjny). \(\displaystyle{ \pi}\) jest otwarte, bo jego obcięcie do każdego \(\displaystyle{ Z^{\beta}}\) jest zanurzeniem na otwarty podzbiór, więc jest otwarte. Nietrudno też wykazać że \(\displaystyle{ X}\), podobnie jak każda liczba porządkowa (a nawet dowolny porządek liniowy), jest przestrzenią normalną.

Zostaje więc do wykazania niemetryzowalność \(\displaystyle{ X}\). W tym celu zakłada się nie wprost, że jej topologia jest indukowana przez metrykę \(\displaystyle{ d : \omega_1 \times \omega_1 \to [0, \infty)}\), i wykazuje się kolejno, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ d}\) jest ciągła;

\(\displaystyle{ \bullet}\) Istnieje takie \(\displaystyle{ r \in \RR}\), że w każdym jego otwartym otoczeniu jest kofinalnie wiele elementów postaci \(\displaystyle{ d(\alpha, \beta)}\), tj.

\(\displaystyle{ (\exists r \in \RR)(\forall \varepsilon > 0)(\forall (\alpha_0, \beta_0) \in \omega_1 \times \omega_1)(\exists \alpha \ge \alpha_0)(\exists \beta \ge \beta_0) \, |d(\alpha, \beta) - r| < \varepsilon}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) W każdym otoczeniu powyższej liczby \(\displaystyle{ r}\) leżą w istocie prawie wszystkie elementy wspomnianej postaci, tj.

\(\displaystyle{ (\forall \varepsilon > 0)(\exists (\alpha_0, \beta_0) \in \omega_1 \times \omega_1)(\forall \alpha \ge \alpha_0)(\forall \beta \ge \beta_0) \, |d(\alpha, \beta) - r| < \varepsilon}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ d(\alpha, \beta)}\) jest od pewnego miejsca stale równe \(\displaystyle{ r}\), tzn.

\(\displaystyle{ (\exists (\alpha_0, \beta_0) \in \omega_1 \times \omega_1)(\forall \alpha \ge \alpha_0)(\forall \beta \ge \beta_0) \, d(\alpha, \beta) = r}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ r = d(\gamma, \gamma) = 0}\) i \(\displaystyle{ r = d(\gamma, \gamma+1) \neq 0}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma = \max \{ \alpha_0, \beta_0 \}}\), co jest niemożliwe.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Topologia - klasyki

Post autor: arek1357 »

Pomimo wątpliwego opisu ten przykład jest chyba poprawny
Niestety od Sylwestra mam wadę w wysławianiu się, lekarz twierdzi, że to minie...

Dodano po 10 minutach 57 sekundach:
Jeszcze sprawdzałem, że dla jakiegoś \(\displaystyle{ n_{0} \wedge m_{0} \ge n_{0}}\) punkt.:

\(\displaystyle{ \left[ ( \frac{1}{n_{0}} + \frac{1}{n_{0}m_{0}},2) \cup ( \frac{1}{n_{0}} + \frac{1}{n_{0}m_{0}},1)\right] }\)

Zawsze należy do części wspólnej otoczeń punktu \(\displaystyle{ (0,2) \wedge }\) zbioru otwartego obejmującego zbiór domknięty: \(\displaystyle{ \left\{ \left[ ( \frac{1}{n},1)\right] ; n=1,2,3,... \right\} }\)

Cała bajka w tym, że dwa punkty tworzą jeden punkt od czasu do czasu...
ODPOWIEDZ