Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 5 sie 2017, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Cześć Wszystkim,
Zadanie z książki W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna" (Warszawa 1978), strona 91, ćwiczenie 7.
Wykazać, że żadna kula domknięta w przestrzeni \(\displaystyle{ C(\left<0; 1\right>; \mathbb{R}) }\) nie jest zwarta.
W zasadzie nie mam w ogóle pomysłu na dowód powyższego. Proszę o wskazówkę jak się do tego zabrać.
Z góry dziękuję!
Zadanie z książki W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna" (Warszawa 1978), strona 91, ćwiczenie 7.
Wykazać, że żadna kula domknięta w przestrzeni \(\displaystyle{ C(\left<0; 1\right>; \mathbb{R}) }\) nie jest zwarta.
W zasadzie nie mam w ogóle pomysłu na dowód powyższego. Proszę o wskazówkę jak się do tego zabrać.
Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 5 sty 2022, o 00:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Wskazówka: wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\) jest ograniczony, ale nie ma podciągu jednostajnie zbieżnego.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Oczywiście można pokazać, że kula domknięta w żadnej nieskończenie wymiarowej p. unormowanej nie jest zwarta bo zawiera nieskończony domknięty podzbiór dyskretny.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 5 sie 2017, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:
@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.
@Dasio11 - o ile dobrze rozumiem to dążysz do pokazania, że w każdej kuli domkniętej w tej przestrzeni istnieje ciąg funkcji zbieżny punktowo ale nie jednostajnie i w związku z tym nie zawiera podciągu zbieżnego (który tak samo musi być zbieżny punktowo do tej samej granicy i tak samo nie jest do niej zbieżny jednostajnie). Stąd na mocy tw. Borela taka kula nie jest zbiorem zwartym. Zgadza się?
@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.
@Dasio11 - o ile dobrze rozumiem to dążysz do pokazania, że w każdej kuli domkniętej w tej przestrzeni istnieje ciąg funkcji zbieżny punktowo ale nie jednostajnie i w związku z tym nie zawiera podciągu zbieżnego (który tak samo musi być zbieżny punktowo do tej samej granicy i tak samo nie jest do niej zbieżny jednostajnie). Stąd na mocy tw. Borela taka kula nie jest zbiorem zwartym. Zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Przestrzeń wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa na wymiar trzy. A funkcji ciągłych jest duuuuzo więcejalanacm1899 pisze: ↑4 sty 2022, o 23:52 Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:
@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 5 sie 2017, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
O ile się orientuję to wymiar przestrzeni jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wektorów danej przestrzeni. Jak w kontekście przestrzeni funkcji ciągłych (przestrzeni metrycznej) mówić o liniowej niezależności wektorów?a4karo pisze: ↑5 sty 2022, o 00:37Przestrzeń wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa na wymiar trzy. A funkcji ciągłych jest duuuuzo więcejalanacm1899 pisze: ↑4 sty 2022, o 23:52 Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:
@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.
I jeżeli rzeczywiście nie jest to przestrzeń jednowymiarowa to jak wyznaczyć jej wymiar?
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych
Tutaj wektorami są funkcje.
Ta przestrzeń zawiera wszystkie wielomiany, więc jej wymiar jest nieskończony
Ta przestrzeń zawiera wszystkie wielomiany, więc jej wymiar jest nieskończony
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 5 sie 2017, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia