Kule domknięte w przestrzeni funkcji ciągłych

[alanacm1899]

Cześć Wszystkim,

Zadanie z książki W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna" (Warszawa 1978), strona 91, ćwiczenie 7.

Wykazać, że żadna kula domknięta w przestrzeni \(\displaystyle{ C(\left<0; 1\right>; \mathbb{R}) }\) nie jest zwarta.

W zasadzie nie mam w ogóle pomysłu na dowód powyższego. Proszę o wskazówkę jak się do tego zabrać.

Z góry dziękuję!

[Dasio11]

Wskazówka: wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x) = x^n}\) jest ograniczony, ale nie ma podciągu jednostajnie zbieżnego.

[Spektralny]

Oczywiście można pokazać, że kula domknięta w żadnej nieskończenie wymiarowej p. unormowanej nie jest zwarta bo zawiera nieskończony domknięty podzbiór dyskretny.

[alanacm1899]

Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:

@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.

@Dasio11 - o ile dobrze rozumiem to dążysz do pokazania, że w każdej kuli domkniętej w tej przestrzeni istnieje ciąg funkcji zbieżny punktowo ale nie jednostajnie i w związku z tym nie zawiera podciągu zbieżnego (który tak samo musi być zbieżny punktowo do tej samej granicy i tak samo nie jest do niej zbieżny jednostajnie). Stąd na mocy tw. Borela taka kula nie jest zbiorem zwartym. Zgadza się?

[a4karo]

Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:

@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.

Przestrzeń wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa na wymiar trzy. A funkcji ciągłych jest duuuuzo więcej

[alanacm1899]

Dzięki za podpowiedzi! Mam jednak kilka wątpliwości:

@Spektralny - to w przypadku tego zadania zadziała? Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ C(\left\langle 0;1\right\rangle , \mathbb{R})}\) czyli przestrzeń jednowymiarową.

Przestrzeń wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej dwa na wymiar trzy. A funkcji ciągłych jest duuuuzo więcej

O ile się orientuję to wymiar przestrzeni jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wektorów danej przestrzeni. Jak w kontekście przestrzeni funkcji ciągłych (przestrzeni metrycznej) mówić o liniowej niezależności wektorów?
I jeżeli rzeczywiście nie jest to przestrzeń jednowymiarowa to jak wyznaczyć jej wymiar?

[a4karo]

Tutaj wektorami są funkcje.
Ta przestrzeń zawiera wszystkie wielomiany, więc jej wymiar jest nieskończony

[alanacm1899]

Tutaj wektorami są funkcje.
Ta przestrzeń zawiera wszystkie wielomiany, więc jej wymiar jest nieskończony

No tak, rozumiem, dzięki.