Własności wnętrza zbioru.

[h2822]

Dzień dobry,

Mam lekki problem z zadaniem, którego celem jest dowiedzenie, że dla \(\displaystyle{ \left(X,\tau\right)}\) - przestrzeni topologicznej oraz \(\displaystyle{ \left(A_{i}\right)_{i\in I}}\) - rodziny podzbiorów X, zachodzi inkluzja: \(\displaystyle{ int\left( \bigcap_{i\in I}A_{i}\right) \subset \bigcap_{i\in I} int A_{i}}\)
Zupełnie nie mam pomysłu jak do tego podejść i byłbym wdzięczny za wszelką pomoc.

[Janusz Tracz]

Jeśli definiujesz wnętrze jako największy podzbiór otwarty lub sumę po podzbiorach otwartych to można tak.
Ustalmy \(\displaystyle{ x\in \text{int} \bigcap_{i\in I}^{} A_i }\). Weźmy \(\displaystyle{ B \subseteq \bigcap_{i\in I}^{} A_i }\) taki, że \(\displaystyle{ x\in B\in \tau}\). Zauważmy, że:

• \(\displaystyle{ \left( \forall i\in I\right) B \subseteq A_i }\),

• zatem \(\displaystyle{ \left( \forall i\in I\right) B \subseteq \text{int}A_i }\) (bo \(\displaystyle{ B}\) jest otwarty więc \(\displaystyle{ B=\text{int}B}\)),

• zatem \(\displaystyle{ B \subseteq \bigcap_{i\in I}^{} \text{int}A_i }\) czyli \(\displaystyle{ x\in \bigcap_{i\in I}^{} \text{int}A_i}\).

każda kolejna kropka wynika z poprzedniej. A pierwsza z definicji przekroju.