Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: mmss »

Niech dany będzie zbiór X. Przez operator Kuratowskiego rozumiemy funkcję \(\displaystyle{ c : P(X) \rightarrow P(X)}\) o następujących czterech własnościach :

1. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} A \subset c(A)}\)
2. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) takich, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A) \subset c(B) }\)
3. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A\cup B) = c(A) \cup c(B)}\)
4. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} c(c(A)) = A}\)

Mam pokazać że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ c}\) o powyższych własnościach istnieje topologia \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ C(A) = \bar{A}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A \subset X}\), gdzie przez tą kreskę nad \(\displaystyle{ A}\) rozumiemy domknięcie zbioru A.

Dostałem wskazówkę że trzeba zacząć od rozwazenia takiej rodziny zbiorów :

\(\displaystyle{ T := \left\{ A \subseteq X : c(X \setminus A) = X \setminus A \right\} }\)
I tutaj jest problem :
1. Skąd w ogóle ta rodzina się zbierze? Skąd wiemy że jest to topologia - czy może musimy pokazać, że to jest topologia?
2. Skąd w ogóle wiemy że istnieje jakikolwiek zbiór \(\displaystyle{ A}\) w tej rodzinie \(\displaystyle{ T}\)? (poza zbiorem pustym)
3. Rozumiem, że teraz odpowiednio wykorzystując cztery własności funkcji \(\displaystyle{ c}\) mamy pokazać, że domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rodziny \(\displaystyle{ T}\) jest równe \(\displaystyle{ c(A)}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: Jan Kraszewski »

mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:194. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} c(c(A)) = A}\)
Raczej \(\displaystyle{ c(c(A)) = c(A).}\)
mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:191. Skąd w ogóle ta rodzina się zbierze?
Skoro \(\displaystyle{ c}\) ma być operatorem domknięcia, to jest to naturalny kandydat na rodzinę wszystkich zbiorów otwartych.
mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:19Skąd wiemy że jest to topologia - czy może musimy pokazać, że to jest topologia?
Musisz pokazać.
mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:19 2. Skąd w ogóle wiemy że istnieje jakikolwiek zbiór \(\displaystyle{ A}\) w tej rodzinie \(\displaystyle{ T}\)? (poza zbiorem pustym)[/latex]
Jak już pokażesz, że to jest topologia, to będzie tam jeszcze \(\displaystyle{ X}\).
mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:193. Rozumiem, że teraz odpowiednio wykorzystując cztery własności funkcji \(\displaystyle{ c}\) mamy pokazać, że domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rodziny \(\displaystyle{ T}\) jest równe \(\displaystyle{ c(A)}\)?
Tak, ale nie "domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rodziny \(\displaystyle{ T}\)", tylko "domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\)".

JK
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: mmss »

Jan Kraszewski pisze: 23 paź 2021, o 15:13
mmss pisze: 23 paź 2021, o 14:19 2. Skąd w ogóle wiemy że istnieje jakikolwiek zbiór \(\displaystyle{ A}\) w tej rodzinie \(\displaystyle{ T}\)? (poza zbiorem pustym)[/latex]
Jak już pokażesz, że to jest topologia, to będzie tam jeszcze \(\displaystyle{ X}\).

JK
Nie no chyba na odwrót. Aby pokazać, że jest \(\displaystyle{ T}\) to topologia to muszę pokazać następujące rzeczy :
a. \(\displaystyle{ X, \emptyset \in T}\)
b. Dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ B \subset T }\) zachodzi \(\displaystyle{ \bigcup_{A \in B}A \in T }\)
c. Dla skończonej rodziny \(\displaystyle{ C \subset T}\) zachodzi \(\displaystyle{ \bigcap_{A \in C}A \in T}\)

To zacznijmy od pokazania a)
\(\displaystyle{ T := \left\{ A \subseteq X : c(X \setminus A) = X \setminus A \right\}}\)
Aby \(\displaystyle{ X \in T}\) to musi zachodzić, \(\displaystyle{ c( \emptyset) = \emptyset}\)
Pierwszy warunek z definicji operatora Kuratowskiego mówi nam, że \(\displaystyle{ \emptyset \subset c(\emptyset)}\).
Teraz należy pokazać że zachodzi zawieranie w drugą stronę, mianowicie że \(\displaystyle{ c(\emptyset) \subset \emptyset }\) co niestety kompletnie nie widzę ja zrobić - próbowałem na różne sposoby przekształcać te warunki (1-4 (4 Pan Kraszewski poprawił na poprawny)) i nic z nich nie wynika w tym kierunku :/
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: a4karo »

WSK. Pokaż najpierw że zbiór pusty należy do tej rodziny
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: mmss »

a4karo pisze: 25 paź 2021, o 11:07 WSK. Pokaż najpierw że zbiór pusty należy do tej rodziny
Zadam dwa pytania :
1. Czy nie jest tak, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru? (Jeśli nie, to chyba czegoś bardzo nie rozumiem).
Edit. Rozumiem że jest różnica między "zbiorem pustym jako \(\displaystyle{ \emptyset}\) a zbiorem którego podzbiorem jest zbiór pusty czyli \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\} }\) a elementy rodziny \(\displaystyle{ T}\) to właśnie te zbiory w nawiasach \(\displaystyle{ \left\{ A\right\} }\)
2. Pokazać że \(\displaystyle{ \emptyset}\) należy rodziny \(\displaystyle{ T := \left\{ A \subseteq X : c(X \setminus A) = X \setminus A \right\}}\).

To mamy tak : Niech \(\displaystyle{ A = \emptyset}\), aby \(\displaystyle{ A \in T}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ c(X) = X}\).

Z warunku 1. mamy \(\displaystyle{ X \subset c(X)}\). Teraz pokażmy w drugą stronę. Wiemy że \(\displaystyle{ c : P(X) \rightarrow P(X)}\) więc \(\displaystyle{ c(X) \in P(X)}\) a największym zbiorem w \(\displaystyle{ P(X)}\) jest \(\displaystyle{ X}\) więc musi zachodzić \(\displaystyle{ c(X) \subset X}\) bo dowodzi temu że \(\displaystyle{ X \in T}\)

Czy powyższe rozumowanie jest poprawne?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: a4karo »

Poprawne, ale trochę przekombinowane. Lepiej `X\subset c(X)\subset X`.

Dodano po 1 minucie 20 sekundach:
Ad 1. Zbior pusty jest podzbiorem każdego zbioru, ale nie musi należeć do każdej rodziny zbiorów. Np ne należy do rodziny zawierającej tylko zbiory jednoelementowe.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: Dasio11 »

mmss pisze: 25 paź 2021, o 10:42Teraz należy pokazać że zachodzi zawieranie w drugą stronę, mianowicie że \(\displaystyle{ c(\emptyset) \subset \emptyset }\) co niestety kompletnie nie widzę ja zrobić - próbowałem na różne sposoby przekształcać te warunki i nic z nich nie wynika w tym kierunku :/
I nie może wynikać, bo funkcja \(\displaystyle{ c(A) = X}\) jest operatorem Kuratowskiego a nie spełnia warunku \(\displaystyle{ c(\varnothing) = \varnothing}\).

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_closure_axioms#Kuratowski_closure_operators_and_weakenings
mówi, że ta równość powinna być jednym z aksjomatów. Niepotrzebny natomiast jest aksjomat drugi, który wynika z trzeciego.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje

Post autor: mmss »

Dasio11 pisze: 25 paź 2021, o 12:33
mmss pisze: 25 paź 2021, o 10:42Teraz należy pokazać że zachodzi zawieranie w drugą stronę, mianowicie że \(\displaystyle{ c(\emptyset) \subset \emptyset }\) co niestety kompletnie nie widzę ja zrobić - próbowałem na różne sposoby przekształcać te warunki i nic z nich nie wynika w tym kierunku :/
I nie może wynikać, bo funkcja \(\displaystyle{ c(A) = X}\) jest operatorem Kuratowskiego a nie spełnia warunku \(\displaystyle{ c(\varnothing) = \varnothing}\).

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_closure_axioms#Kuratowski_closure_operators_and_weakenings
mówi, że ta równość powinna być jednym z aksjomatów. Niepotrzebny natomiast jest aksjomat drugi, który wynika z trzeciego.
No nieźle. Opieram się na książce "Podstawy topologii ogólnej w zadaniach" i tam jest to zadanie które tu staram się zrozumieć.
W tej książce jest zestaw warunków które podałem w pierwszym poście i na wikipedii widziałem oczywiście że pisze się zestaw czterech warunków z warunkiem \(\displaystyle{ c(\varnothing) = \varnothing}\) ale myślałem że jest on jakoś równoważny do powyższych.

Dodano po 11 godzinach 13 minutach 59 sekundach:
Ok od nowa, postaram się poniżej wszystko dokładnie opisać i zredagować - czy mogę poprosić o waszą opinię czy poniższe rozumowanie jest poprawne?

Niech dany będzie zbiór X. Przez operator Kuratowskiego rozumiemy następujące przekształcenie \(\displaystyle{ c : P(X) \rightarrow P(X)}\) spełniające cztery warunki:
1. \(\displaystyle{ \emptyset = c(\emptyset)}\)
2. Gdy \(\displaystyle{ A \subset X}\) to \(\displaystyle{ A \subset c(A)}\)
3. Gdy \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) to \(\displaystyle{ c(A \cup B) = c(A) \cup c(B)}\)
4. Dla \(\displaystyle{ A \subset X}\) mamy \(\displaystyle{ c(A) = c(c(A))}\)
Pokazać, że dla dowolnego operatora Kuratowskiego, istnieje topologia \(\displaystyle{ T}\), oraz w tej topologii \(\displaystyle{ c(A) = \bar{A}}\)(przez kreskę nad \(\displaystyle{ A}\) rozumiemy domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) w topologii \(\displaystyle{ T}\)).

Rozwiązanie :
Niech kandydatem na \(\displaystyle{ T}\) będzie zbiór \(\displaystyle{ T = \left\{ A \subset X : c(X\setminus A) = X\setminus A \right\} }\)
Pokażmy, że \(\displaystyle{ \emptyset, X \in T}\). Gdy \(\displaystyle{ A = \emptyset}\) to musi zachodzić \(\displaystyle{ c(X) = X}\). Jest to prawda bowiem, \(\displaystyle{ X \subset c(X)}\) co jest treścią warunku (2), natomiast \(\displaystyle{ c(X) \subset X}\) bo \(\displaystyle{ X}\) to największy zbiór w \(\displaystyle{ P(X)}\)(w sensie zawierania - zawiera każdy swój podzbiór a c w końcu robi przekształcenie z \(\displaystyle{ P(X)}\) na \(\displaystyle{ P(X)}\).
Zatem \(\displaystyle{ \emptyset \in T}\). Teraz niech \(\displaystyle{ A = X}\). Musi zachodzić \(\displaystyle{ c(\emptyset) = \emptyset}\) co jest treścią warunku (1) więc \(\displaystyle{ X \in T}\)

Teraz pokażmy że dla skończonej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ B \subset T}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap_{A\in B}A \in T}\) czyli musi zachodzić, \(\displaystyle{ c(X\setminus \bigcap_{A\in B}A) = X\setminus \bigcap_{A\in B}A}\), z praw de Morgana mamy \(\displaystyle{ X \setminus\bigcap_{A\in B}A = \bigcup_{A\in B}X\setminus A = c( \bigcup_{A\in B}X\setminus A ) = \bigcup_{A\in B}c( X\setminus A ) }\). Ostatnią równość możemy tak zapisać(znak sumy przed c) na mocy warunku (3) który nam pozawala rozpisać sume mnogościową w argumencie c. Natomiast \(\displaystyle{ \bigcup_{A\in B}c( X\setminus A ) = \bigcup_{A\in B}X\setminus A}\) bo dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in T}\) mamy \(\displaystyle{ c(X \setminus A) = X \setminus A}\) co było do pokazania. Zatem skończone iloczyny należą do \(\displaystyle{ T}\).

Pozostaje pokazać, że suma mnogościowa rodziny zbiorów \(\displaystyle{ B \subset T}\) niekoniecznie skończonej, należy do \(\displaystyle{ T}\). Ponownie, należy pokazać, że \(\displaystyle{ c(X \setminus \bigcup_{A_{i}\in B}A_{i}) = X \setminus \bigcup_{A_{i}\in B}A_{i} }\). Z praw Morgana mamy rónowaznie, że wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} = c(\bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} ) }\). Zawieranie \(\displaystyle{ \bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} \subset c(\bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} ) }\) mamy z (2). Pokażmy, że zachodzi również zawieranie w drugą stronę. Wiadomo, że dla dowolnego wybranego indeksu np. \(\displaystyle{ j}\) mamy \(\displaystyle{ c(\bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} ) \subset c(X \setminus A_{j})}\) oraz z faktu, że \(\displaystyle{ A_{j} \in T}\) mamy \(\displaystyle{ c(X \setminus A_{j}) = X \setminus A_{j} }\). Jako, że \(\displaystyle{ j}\) wybraliśmy dowolnie to niech będzie to takie \(\displaystyle{ j}\) że zbiór \(\displaystyle{ A_{j}}\) jest najmniejszy w sensie zawierania w rodzinie \(\displaystyle{ B}\). Wtedy \(\displaystyle{ X \setminus A_{j} \subset \bigcap_{A_{i}} X \setminus A_{i} }\) a więc mamy zawieranie w drugą stronę : \(\displaystyle{ c(\bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} ) \subset \bigcap_{A_{i} \in T} X \setminus A_{i} }\), zatem \(\displaystyle{ \bigcup_{A_{i}}A_{i} \in T}\) więc \(\displaystyle{ T}\) jest topologią. Czy te moje powyższe wypociny mają sens ? Niestety też, nie bardzo widzę jak zacząć drugą część czyli pokazać, że \(\displaystyle{ c(A) = \bar{A}}\).
ODPOWIEDZ