Udowodnić równość dwóch topologii generowanych przez metryki

[niunix98]

Cześć,

Mam do rozwiązania zadanie, w którym muszę pokazać równość dwóch topologii generowanych przez metryki. Zastanawiałem się, w jaki sposób to zrobić i doszedłem do następujących wniosków. Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozumowanie jest poprawne?

Niech \(\displaystyle{ (X, d_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (X, d_2)}\) będą przestrzeniami metrycznymi. Chcemy pokazać \(\displaystyle{ \tau (d_1) = \tau (d_2)}\), czyli \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} (Z \in \tau (d_1) \leftrightarrow Z \in \tau (d_2))}\). Ten krok był w miarę oczywisty, ale zastanawiam się nad poprawnością następnego: wystarczy więc pokazać \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (\exists_{r_1 > 0} B(z, r_1)_{d_1} \subseteq Z \leftrightarrow \exists_{r_2 > 0} B(z,r_2)_{d_2} \subseteq Z )}\).

W szczególności, czy jeżeli pokażę, że dla dowolnego \(\displaystyle{ z \in X}\) i \(\displaystyle{ r_1 > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ r_2 > 0}\), że \(\displaystyle{ B(z,r_2)_{d_2} \subseteq B(z,r_1)_{d_1}}\) (oraz vice versa, dla zamienionych indeksów \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\)), to będę miał poprawny dowód?

[Dasio11]

Tak.

[a4karo]

Cześć,

Mam do rozwiązania zadanie, w którym muszę pokazać równość dwóch topologii generowanych przez metryki. Zastanawiałem się, w jaki sposób to zrobić i doszedłem do następujących wniosków. Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozumowanie jest poprawne?

Niech \(\displaystyle{ (X, d_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (X, d_2)}\) będą przestrzeniami metrycznymi. Chcemy pokazać \(\displaystyle{ \tau (d_1) = \tau (d_2)}\), czyli \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} (Z \in \tau (d_1) \leftrightarrow Z \in \tau (d_2))}\). Ten krok był w miarę oczywisty, ale zastanawiam się nad poprawnością następnego: wystarczy więc pokazać \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (\exists_{r_1 > 0} B(z, r_1)_{d_1} \subseteq Z \leftrightarrow \exists_{r_2 > 0} B(z,r_2)_{d_2} \subseteq Z )}\).

Ten warunek chyba nie tak powinien być sformułowany

W szczególności, czy jeżeli pokażę, że dla dowolnego \(\displaystyle{ z \in X}\) i \(\displaystyle{ r_1 > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ r_2 > 0}\), że \(\displaystyle{ B(z,r_2)_{d_2} \subseteq B(z,r_1)_{d_1}}\) (oraz vice versa, dla zamienionych indeksów \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\)), to będę miał poprawny dowód?

[matmatmm]

Bo tutaj mamy trzy różne warunki, ale każdy z nich jest równoważny równości topologii generowanych przez metryki.

Ten warunek
\(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (\exists_{r_1 > 0} B(z, r_1)_{d_1} \subseteq Z \leftrightarrow \exists_{r_2 > 0} B(z,r_2)_{d_2} \subseteq Z )}\).

mówi, że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) i punktu \(\displaystyle{ z}\): \(\displaystyle{ z}\) należy do wnętrza \(\displaystyle{ Z}\) w jednej metryce wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) należy do wnętrza \(\displaystyle{ Z}\) w drugiej metryce.

[a4karo]

Chyba nie. Niech `d_1` i `d_2` będą nierównoważnymi metrykami na przestrzeni `X` takimi, że średnica całej przestrzeni w obu metrykach jest równa `1`.

Wtedy kładąc `r_1=r_2=2` warunek wygląda tak: \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (X\subseteq Z \Leftrightarrow X\subseteq Z)}\) i jest oczywiście spełniony

[niunix98]

Tylko jak już mamy wybrany \(\displaystyle{ Z \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ z \in Z}\), to zdanie "\(\displaystyle{ \exists_{r_1 > 0} B(z,r_1)_{d_1} \subseteq Z}\)" ma już pewną zdefiniowaną wartość logiczną (w poprzednim przykładzie nie możemy sobie wybrać \(\displaystyle{ r_1 = 2}\) i powiedzieć, że zdanie to ma taką wartość jak dla \(\displaystyle{ r_1 = 2}\)). Chyba, że źle rozumuję.

[a4karo]

A niby dlaczego w tym absolutnie symetrycznym wyrażeniu jedna jego część miałaby mieć jakąkolwiek przewagę nad drugą?

[niunix98]

Chyba nie do końca rozumiem. Jeżeli mamy wybrane \(\displaystyle{ Z \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ z \in Z}\) to możemy napisać zdania \(\displaystyle{ \zeta_i}\): "\(\displaystyle{ \exists_{r_i > 0} B(z,r_i)_{d_i} \subseteq Z}\)" dla \(\displaystyle{ i = 1,2}\). Chcemy pokazać \(\displaystyle{ \zeta_1 \leftrightarrow \zeta_2}\), co, jak mi się wydaje, jest symetryczne.

Dodano po 3 minutach 37 sekundach:
Dodam tylko, że przy ustalonych \(\displaystyle{ Z}\) i \(\displaystyle{ z}\) zdania \(\displaystyle{ \zeta_i}\) mają pewną określoną wartość logiczną.

[Dasio11]

Wtedy kładąc `r_1=r_2=2` warunek wygląda tak: \(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (X\subseteq Z \Leftrightarrow X\subseteq Z)}\) i jest oczywiście spełniony

Nie rozumiem argumentu - jeśli warunek \(\displaystyle{ (\exists r_1 > 0) \, B(z, r_1)_{d_1} \subseteq Z}\) ma być spełniony, to świadczą o tym możliwie najmniejsze wartości \(\displaystyle{ r_1}\). Tym samym podstawienie \(\displaystyle{ r_1=2}\) nic nie mówi o prawdziwości warunku.

[a4karo]

Mądrze prawisz, Dasio, tyle, że w tak zapisanym warunku nie ma ani znaczka świadczącego o tym, że chodzi o dowolnie małe `r`.

I dlatego zażartowałem sobie, wziąłem duże `r`, żeby wykazać, że tak zapisany warunek bynajmniej nie definiuje różnoważności topologii.

[matmatmm]

Zupełnie nie zrozumiałem tego "żartu", a skoro moja teza

Ten warunek
\(\displaystyle{ \forall_{Z \subseteq X} \forall_{z \in Z} (\exists_{r_1 > 0} B(z, r_1)_{d_1} \subseteq Z \leftrightarrow \exists_{r_2 > 0} B(z,r_2)_{d_2} \subseteq Z )}\).

mówi, że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) i punktu \(\displaystyle{ z}\): \(\displaystyle{ z}\) należy do wnętrza \(\displaystyle{ Z}\) w jednej metryce wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) należy do wnętrza \(\displaystyle{ Z}\) w drugiej metryce.

została zakwestionowana, to proszę o jakiś rzeczowy argument.

[a4karo]

A podany kontrprzykład nie wystarczy?

[Dasio11]

Nie podałeś żadnego kontrprzykładu.

[a4karo]

To może zamiast dwóch nierównoważnych metryk, o których pisałem, weź odcinek jednostkowy z metryką euklidesową i dyskretną

[Dasio11]

Wtedy warunek jest nieprawdziwy - dla \(\displaystyle{ Z = \{ 0 \}}\) i \(\displaystyle{ z = 0}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ (\exists r > 0) \, B(z, r)_{d_c} \subseteq Z}\) (o czym świadczy \(\displaystyle{ \textstyle r = \frac{1}{2}}\)), ale nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (\exists r > 0) \, B(z, r)_{d_e} \subseteq Z}\).