Jak to rozwiązać?Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolną przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ Y}\) przestrzenią metryczną. Dowieść, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f_{n}: X \to Y}\) (\(\displaystyle{ n=1,2,...}\)) są ciągłe, i \(\displaystyle{ f_{n}\rightrightarrows f}\) (są zbieżne jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\)), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.
ciąg funkcji ciągłych zbieżnych jednostajnie
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 15 sie 2019, o 11:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb
- Podziękował: 6 razy
ciąg funkcji ciągłych zbieżnych jednostajnie
Ostatnio zmieniony 7 cze 2021, o 23:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: ciąg funkcji ciągłych zbieżnych jednostajnie
To jest standardowe twierdzenie. Dowód można znaleźć prawie w każdym podręczniku.
Ustalmy \(\displaystyle{ x_0\in X}\) oraz otoczenie otwarte \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ f(x_0)}\). Istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(f(x_0),\varepsilon)\subseteq U}\).
Z jednostajnej zbieżności istnieje \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\).
Z ciągłości \(\displaystyle{ f_n}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje otoczenie otwarte \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x_0),f_n(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in V}\).
Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\):
\(\displaystyle{ \rho(f(x_0),f(x))\leq \rho(f(x_0),f_n(x_0))+\rho(f_n(x_0),f_n(x))+\rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ x_0\in X}\) oraz otoczenie otwarte \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ f(x_0)}\). Istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(f(x_0),\varepsilon)\subseteq U}\).
Z jednostajnej zbieżności istnieje \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\).
Z ciągłości \(\displaystyle{ f_n}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje otoczenie otwarte \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x_0),f_n(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in V}\).
Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\):
\(\displaystyle{ \rho(f(x_0),f(x))\leq \rho(f(x_0),f_n(x_0))+\rho(f_n(x_0),f_n(x))+\rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon}\)