ciąg funkcji ciągłych zbieżnych jednostajnie

[stefcio2]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolną przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ Y}\) przestrzenią metryczną. Dowieść, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f_{n}: X \to Y}\) (\(\displaystyle{ n=1,2,...}\)) są ciągłe, i \(\displaystyle{ f_{n}\rightrightarrows f}\) (są zbieżne jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\)), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.

Jak to rozwiązać?

[matmatmm]

To jest standardowe twierdzenie. Dowód można znaleźć prawie w każdym podręczniku.

Ustalmy \(\displaystyle{ x_0\in X}\) oraz otoczenie otwarte \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ f(x_0)}\). Istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) takie, że \(\displaystyle{ K(f(x_0),\varepsilon)\subseteq U}\).
Z jednostajnej zbieżności istnieje \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\).
Z ciągłości \(\displaystyle{ f_n}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) istnieje otoczenie otwarte \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x_0}\) takie, że \(\displaystyle{ \rho(f_n(x_0),f_n(x))<\frac{1}{3}\varepsilon}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in V}\).
Wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x\in V}\):
\(\displaystyle{ \rho(f(x_0),f(x))\leq \rho(f(x_0),f_n(x_0))+\rho(f_n(x_0),f_n(x))+\rho(f_n(x),f(x))<\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon+\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon}\)