Ciągłość funkcji w danej topologii

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
anna_123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 paź 2020, o 18:00
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Ciągłość funkcji w danej topologii

Post autor: anna_123 » 21 kwie 2021, o 22:14

Jak sprawdzić czy dana funkcja jest ciągła w danej topologii \(\displaystyle{ T}\) na \(\displaystyle{ X}\), który jest przestrzenią liniowo uporządkowaną?

\(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall _{x,y \in} (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\} }\).

Mam do sprawdzenia funkcje : \(\displaystyle{ f(x) = x^2, g(x) = x\mod 2,h(x) = \left \lfloor{x}\right \rfloor }\).

Sprawdziłam już ich ciągłość na topologii standardowej używając def: Funkcja \(\displaystyle{ f : X \to Y }\)jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru domkniętego \(\displaystyle{ K }\) w \(\displaystyle{ Y}\) zbiór\(\displaystyle{ f^{−1}(K)}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ X}\). Mam jednak problem gdy mam sprawdzić ciągłość na innej topologii niż standardowa.
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2021, o 22:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3301
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1139 razy

Re: Ciągłość funkcji w danej topologii

Post autor: Janusz Tracz » 22 kwie 2021, o 00:03

A czym jest \(\displaystyle{ X}\)? Jeśli to coś abstrakcyjnego to trzeba tam określić porządek \(\displaystyle{ \le }\) oraz takie działania by te funkcje miały sens. Ale pewnie \(\displaystyle{ X=\RR}\) wtedy o ile:
\(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall _{x,y \in} (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\} }\)
miało wyglądać tak \(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall x,y \in X \left( (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\right) \} }\) to \(\displaystyle{ T}\) jest rodziną zbiorów postaci \(\displaystyle{ \left( \xi, \infty \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left[ \eta, \infty \right) }\) poza \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ \RR}\). Jeśli teraz mamy funkcję \(\displaystyle{ f:\left( \RR,T\right) \rightarrow \left( \RR,T\right)}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) to sprawdzenie jej ciągłości polega na ustaleniu zadzioru domkniętego i pokazaniu, że jego przeciwobraz jest domknięty (choć zwykle to się robi dla zbiorów otwartych ale to chyba wszystko jedno bo przeciwobrazy działają dobrze z dopełnieniami i te definicję są "dualnie" równoważne). A dowód nieciągłości polega na wskazaniu kontrprzykładu. No więc wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,-1\right) \right]=\varnothing\in T }\) mimo, że \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-1\right)^{c}\in T}\).

Co do \(\displaystyle{ h(x) = \left \lfloor{x}\right \rfloor}\) to zauważ, że tam przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte (są w \(\displaystyle{ T}\)). Sprawdziłem \(\displaystyle{ 4}\) przypadki. przeciwobrazy \(\displaystyle{ \left( \xi, \infty \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left[ \eta, \infty \right) }\) oraz osobno \(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ \RR}\). Wygląda na to, że \(\displaystyle{ \left \lfloor{ \cdot }\right \rfloor : \left( \RR,T\right) \rightarrow \left( \RR,T\right)}\) jest ciągła.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9515
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Ciągłość funkcji w danej topologii

Post autor: Dasio11 » 22 kwie 2021, o 10:17

Janusz Tracz pisze:
22 kwie 2021, o 00:03
No więc wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,-1\right) \right]=\varnothing\in T }\) mimo, że \(\displaystyle{ \left( - \infty ,-1\right)^{c}\in T}\).
Zbiór pusty jest domknięty, więc to nie jest kontrprzykład.

Co do zadania - można ogólnie zauważyć, że funkcje ciągłe względem podanej topologii to dokładnie funkcje niemalejące.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3301
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1139 razy

Re: Ciągłość funkcji w danej topologii

Post autor: Janusz Tracz » 22 kwie 2021, o 12:53

Racja. Dziękuję za wskazanie błędu. Ale \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,1\right) \right]}\) powinno zadziałać. Bo \(\displaystyle{ \left( - \infty ,1\right)}\) jest domknięty ale przeciwobraz nie jest domkniety.

ODPOWIEDZ