Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 4 kwie 2021, o 21:38

Witam, mam do wyznaczenia \(\displaystyle{ \Int A}\), domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\) w metryce dyskretnej, gdzie \(\displaystyle{ A=[-2,4] \cup\{5\}.}\)

Proszę o pomoc jak to ładnie uzasadnić, oczywiście wiem jak "działa" metryka dyskretna :?
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 22:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawiasy klamrowe to \{, \}.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: a4karo » 4 kwie 2021, o 21:54

Jak wiesz jak "działa" to czego jeszcze potrzebujesz?
Jak wyglądają zbiory otwarte?

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 4 kwie 2021, o 21:59

W takim sensie, że wiem:

\(\displaystyle{ d(x,y)= 0}\), gdy \(\displaystyle{ x=y}\)
oraz \(\displaystyle{ d(x,y)=1}\), gdy \(\displaystyle{ x \neq y}\)

Nie wiem jak to przenieść na warunki zadania oraz ładnie zapisać.
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 23:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: a4karo » 4 kwie 2021, o 22:20

Jakie zbiory są w tej metryce otwarte?

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 5 kwie 2021, o 15:07

a4karo pisze:
4 kwie 2021, o 22:20
Jakie zbiory są w tej metryce otwarte?
właśnie nie wiem, bo nie mieliśmy tego jeszcze. Proszę dlatego o pomoc.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: a4karo » 5 kwie 2021, o 15:29

A znasz definicję zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej?
Sam musisz coś zrobić.

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 5 kwie 2021, o 17:32

a4karo pisze:
5 kwie 2021, o 15:29
A znasz definicję zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej?
Sam musisz coś zrobić.
no tak.
niepusty zbiór \(\displaystyle{ U \subset X}\) jest otwarty, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje \(\displaystyle{ r>0}\), taki że \(\displaystyle{ Kr(x) \subset U}\).
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2021, o 17:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27849
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: Jan Kraszewski » 5 kwie 2021, o 17:36

To teraz zastanów się, jak wyglądają kule w tej metryce i co z tego wynika.

JK

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 5 kwie 2021, o 18:05

Jan Kraszewski pisze:
5 kwie 2021, o 17:36
To teraz zastanów się, jak wyglądają kule w tej metryce i co z tego wynika.

JK
mają promień 0 lub 1?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27849
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: Jan Kraszewski » 5 kwie 2021, o 18:08

Mają promień taki, jaki sobie zażyczysz, ale w zależności od promienia różnie wyglądają. Najlepiej sprawdź kule np. o promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2.}\)

JK

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 5 kwie 2021, o 18:11

Jan Kraszewski pisze:
5 kwie 2021, o 18:08
Mają promień taki, jaki sobie zażyczysz, ale w zależności od promienia różnie wyglądają. Najlepiej sprawdź kule np. o promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2.}\)

JK
no to tutaj chyba będzie pasowała kula o promieniu\(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), bo pozostałe będą za duże

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27849
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: Jan Kraszewski » 5 kwie 2021, o 18:22

Ale do czego "będzie pasowała"? Miałaś zastanowić się, jak będą wyglądać różne kule, a jak już to zobaczysz, to miałaś wykorzystać to do odpowiedzi na pytanie, jakie zbiory są otwarte w metryce dyskretnej.

JK

sport
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 31 paź 2020, o 21:39
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: sport » 5 kwie 2021, o 18:38

czyli kule o promieniu z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2})? }\) I to będzie właśnie wnętrze?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27849
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Wnętrze zbioru w metryce dyskretnej

Post autor: Jan Kraszewski » 5 kwie 2021, o 19:21

sport pisze:
5 kwie 2021, o 18:38
czyli kule o promieniu z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2})? }\) I to będzie właśnie wnętrze?
:?: :?:
Nie ma pojęcia, o co Ci chodzi. Dostałaś konkretne wskazówki, ale zamiast z nich skorzystać wykonujesz niezrozumiałe (dla mnie) czynności. Chyba zapomniałaś, że na razie nie odpowiadamy na pytania z wyjściowego posta.

Powtórzę zatem pytania i poproszę o odpowiedzi na nie (rozumiem, że rozpatrujesz prostą rzeczywistą z metryką dyskretną - nie napisałaś tego, a powinnaś):
1. Niech \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Czym są kule otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2}\)?
2. Które podzbiory prostej rzeczywistej są otwarte w metryce dyskretnej? Wskazówka: połącz ze zrozumieniem definicję zbioru otwartego i odpowiedź na pytanie 1.

Jak już poprawnie odpowiesz na te pytania, to wtedy masz szansę rozwiązać zadanie z wyjściowego posta.

JK

ODPOWIEDZ