Matematyka.pl

Witam, mam do wyznaczenia \(\displaystyle{ \Int A}\), domknięcie zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\) w metryce dyskretnej, gdzie \(\displaystyle{ A=[-2,4] \cup\{5\}.}\)

Proszę o pomoc jak to ładnie uzasadnić, oczywiście wiem jak "działa" metryka dyskretna

Jak wiesz jak "działa" to czego jeszcze potrzebujesz?
Jak wyglądają zbiory otwarte?

W takim sensie, że wiem:

\(\displaystyle{ d(x,y)= 0}\), gdy \(\displaystyle{ x=y}\)
oraz \(\displaystyle{ d(x,y)=1}\), gdy \(\displaystyle{ x \neq y}\)

Nie wiem jak to przenieść na warunki zadania oraz ładnie zapisać.

Jakie zbiory są w tej metryce otwarte?

a4karo pisze: ↑4 kwie 2021, o 22:20 Jakie zbiory są w tej metryce otwarte?

właśnie nie wiem, bo nie mieliśmy tego jeszcze. Proszę dlatego o pomoc.

A znasz definicję zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej?
Sam musisz coś zrobić.

a4karo pisze: ↑5 kwie 2021, o 15:29 A znasz definicję zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej?
Sam musisz coś zrobić.

no tak.
niepusty zbiór \(\displaystyle{ U \subset X}\) jest otwarty, jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje \(\displaystyle{ r>0}\), taki że \(\displaystyle{ Kr(x) \subset U}\).

To teraz zastanów się, jak wyglądają kule w tej metryce i co z tego wynika.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑5 kwie 2021, o 17:36 To teraz zastanów się, jak wyglądają kule w tej metryce i co z tego wynika.

JK

mają promień 0 lub 1?

Mają promień taki, jaki sobie zażyczysz, ale w zależności od promienia różnie wyglądają. Najlepiej sprawdź kule np. o promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑5 kwie 2021, o 18:08 Mają promień taki, jaki sobie zażyczysz, ale w zależności od promienia różnie wyglądają. Najlepiej sprawdź kule np. o promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2.}\)

JK

no to tutaj chyba będzie pasowała kula o promieniu\(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), bo pozostałe będą za duże

Ale do czego "będzie pasowała"? Miałaś zastanowić się, jak będą wyglądać różne kule, a jak już to zobaczysz, to miałaś wykorzystać to do odpowiedzi na pytanie, jakie zbiory są otwarte w metryce dyskretnej.

JK

czyli kule o promieniu z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2})? }\) I to będzie właśnie wnętrze?

sport pisze: ↑5 kwie 2021, o 18:38czyli kule o promieniu z przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{1}{2})? }\) I to będzie właśnie wnętrze?

Nie ma pojęcia, o co Ci chodzi. Dostałaś konkretne wskazówki, ale zamiast z nich skorzystać wykonujesz niezrozumiałe (dla mnie) czynności. Chyba zapomniałaś, że na razie nie odpowiadamy na pytania z wyjściowego posta.

Powtórzę zatem pytania i poproszę o odpowiedzi na nie (rozumiem, że rozpatrujesz prostą rzeczywistą z metryką dyskretną - nie napisałaś tego, a powinnaś):
1. Niech \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Czym są kule otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniach \(\displaystyle{ \frac12,1,\frac32,2}\)?
2. Które podzbiory prostej rzeczywistej są otwarte w metryce dyskretnej? Wskazówka: połącz ze zrozumieniem definicję zbioru otwartego i odpowiedź na pytanie 1.

Jak już poprawnie odpowiesz na te pytania, to wtedy masz szansę rozwiązać zadanie z wyjściowego posta.

JK