Prosiłbym o wyjaśnienie tego zadania.
Przestrzeń \(\displaystyle{ X }\)jest ośrodkowa, gdy istnieje przeliczalny zbiór gęsty w \(\displaystyle{ X}\). Przeliczalny podzbiór gęsty nazywamy ośrodkiem.
Udowodnić, że zbiór punktów o obu współrzędnych wymiernych nie jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ \RR^2}\), gdy jako metrykę przyjmiemy metrykę rzeka (z osią \(\displaystyle{ 0X}\) jako rzeka).
Wnętrze, domknięcie, brzeg.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 27 mar 2021, o 14:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 3 razy
Wnętrze, domknięcie, brzeg.
Ostatnio zmieniony 27 mar 2021, o 15:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wnętrze, domknięcie, brzeg.
Zastanów się, jakie punkty o obu współrzędnych wymiernych są w kuli o środku \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}, 2 )}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
JK
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wnętrze, domknięcie, brzeg.
Wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \left( \exists x\in \RR^2\right) \left( \exists \epsilon>0\right) \left( \forall q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon }\) wszak kładąc \(\displaystyle{ x=\left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon=1}\) widzimy, że kula \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon\right) }\) nie zawiera żadnego punktu \(\displaystyle{ q\in\QQ^2}\) (bo pierwsza współrzędna jest zawsze niewymierna). Zatem ustaliwszy \(\displaystyle{ q\in\QQ^2}\) widzimy, że \(\displaystyle{ q\not\in \left\{ y:d_{r}(x,y)<\epsilon\right\} }\) czyli \(\displaystyle{ d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon}\). A to wystarcza bo \(\displaystyle{ \left( \exists x\in \RR^2\right) \left( \exists \epsilon>0\right) \left( \forall q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon }\) to zaprzeczenie \(\displaystyle{ \left( \forall x\in \RR^2\right) \left( \forall \epsilon>0\right) \left( \exists q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) < \epsilon }\) czyli gęstości \(\displaystyle{ \QQ^2}\) w \(\displaystyle{ \left( \RR^2,d_{r}\right) }\).
Mówiąc wprost istnieje kula w której nie ma elementów z \(\displaystyle{ \QQ^2}\). Czyli żyjąc w takiej kuli nie odczuwamy obecności \(\displaystyle{ \QQ^2}\).
Mówiąc wprost istnieje kula w której nie ma elementów z \(\displaystyle{ \QQ^2}\). Czyli żyjąc w takiej kuli nie odczuwamy obecności \(\displaystyle{ \QQ^2}\).
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wnętrze, domknięcie, brzeg.
Wiem... przepraszam. W sennie serio przepraszam. Nie lubię dodawać gotowych odpowiedzi, nawet przez przypadek, w tym samym momencie co Pan. Ale akurat się tego uczę i robienie tych zadań mi pomaga.
A to nawet sam wymyśliłem więc bardzo chciałem dodać.
A to nawet sam wymyśliłem więc bardzo chciałem dodać.