Wnętrze, domknięcie, brzeg.

[Kosiu]

Prosiłbym o wyjaśnienie tego zadania.
Przestrzeń \(\displaystyle{ X }\)jest ośrodkowa, gdy istnieje przeliczalny zbiór gęsty w \(\displaystyle{ X}\). Przeliczalny podzbiór gęsty nazywamy ośrodkiem.
Udowodnić, że zbiór punktów o obu współrzędnych wymiernych nie jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ \RR^2}\), gdy jako metrykę przyjmiemy metrykę rzeka (z osią \(\displaystyle{ 0X}\) jako rzeka).

[Jan Kraszewski]

Zastanów się, jakie punkty o obu współrzędnych wymiernych są w kuli o środku \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}, 2 )}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).

JK

[Janusz Tracz]

Wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \left( \exists x\in \RR^2\right) \left( \exists \epsilon>0\right) \left( \forall q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon }\) wszak kładąc \(\displaystyle{ x=\left( \sqrt{2}, \sqrt{2} \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon=1}\) widzimy, że kula \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon\right) }\) nie zawiera żadnego punktu \(\displaystyle{ q\in\QQ^2}\) (bo pierwsza współrzędna jest zawsze niewymierna). Zatem ustaliwszy \(\displaystyle{ q\in\QQ^2}\) widzimy, że \(\displaystyle{ q\not\in \left\{ y:d_{r}(x,y)<\epsilon\right\} }\) czyli \(\displaystyle{ d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon}\). A to wystarcza bo \(\displaystyle{ \left( \exists x\in \RR^2\right) \left( \exists \epsilon>0\right) \left( \forall q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) \ge \epsilon }\) to zaprzeczenie \(\displaystyle{ \left( \forall x\in \RR^2\right) \left( \forall \epsilon>0\right) \left( \exists q\in\QQ^2\right) d_{r}\left( x,q\right) < \epsilon }\) czyli gęstości \(\displaystyle{ \QQ^2}\) w \(\displaystyle{ \left( \RR^2,d_{r}\right) }\).

Mówiąc wprost istnieje kula w której nie ma elementów z \(\displaystyle{ \QQ^2}\). Czyli żyjąc w takiej kuli nie odczuwamy obecności \(\displaystyle{ \QQ^2}\).

[Jan Kraszewski]

Dałbyś chłopakowi samemu pomyśleć...

JK

[Janusz Tracz]

Wiem... przepraszam. W sennie serio przepraszam. Nie lubię dodawać gotowych odpowiedzi, nawet przez przypadek, w tym samym momencie co Pan. Ale akurat się tego uczę i robienie tych zadań mi pomaga.

A to nawet sam wymyśliłem więc bardzo chciałem dodać.