Przestrzenie, podprzestrzenie i gęstość.

[Kosiu]

Prosiłbym o wyjaśnienie tych 2 punktów
1. Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie gęstą podprzestrzenią przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X, d)}\) i niech zbiór \(\displaystyle{ A \subseteq Y}\) będzie gęsty w \(\displaystyle{ Y}\). Czy \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ X}\)?
2. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie gęsty w \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\) będzie otwarty w \(\displaystyle{ X}\). Czy \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ Y}\)?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ (1)}\) Ustalmy \(\displaystyle{ x\in X}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Z gęstości \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\) wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y\in Y}\) taki, że \(\displaystyle{ d(x,y)<\epsilon/2}\), natomiast z gęstości \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ Y}\) wynika, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\) taki, że \(\displaystyle{ d\left( y,a\right)<\epsilon/2 }\). Pokażmy, że ten konkretny \(\displaystyle{ a\in A}\) jest dobry. Wynika to z nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ d\left( x,a\right) \le d(x,y)+ d\left( y,a\right) < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon}\)

zatem faktycznie \(\displaystyle{ \left( \forall x\in X\right) \left( \forall \epsilon>0\right) \left( \exists a\in A\right) d(x,a) <\epsilon }\).