Udowodnić, że zbiór jest zbiorem domkniętym

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
somekint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 mar 2021, o 00:26
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 3 razy

Udowodnić, że zbiór jest zbiorem domkniętym

Post autor: somekint » 26 mar 2021, o 00:32

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dowodu.

Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ d(x,A)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \notin A}\).
Ostatnio zmieniony 26 mar 2021, o 01:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3301
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1139 razy

Re: Udowodnić, że zbiór jest zbiorem domkniętym

Post autor: Janusz Tracz » 26 mar 2021, o 09:34

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Ustalmy \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\) czyli \(\displaystyle{ x\in A^{c}=X \setminus A}\). Weźmy \(\displaystyle{ \epsilon_x=d\left( x,A\right) }\), taki \(\displaystyle{ \epsilon_x}\) istnieje i jest większy od zera. Rozważmy kule \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) }\). Jako, że \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) \cap A=\varnothing }\) to \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) \subset A^c }\) (bo gdyby było inaczej to jakiś element \(\displaystyle{ A}\) były bliżej w sensie metryki \(\displaystyle{ d}\) do \(\displaystyle{ x}\), a tak być nie może ze względu na definicję \(\displaystyle{ \epsilon_x}\)) zatem \(\displaystyle{ A^c}\) jest otwarty. Czyli \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty.

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\) Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie domknięty. Wtedy \(\displaystyle{ A^c}\) jest otwarty. Zatem do dowolnego \(\displaystyle{ x\in A^c}\) istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) taki, że \(\displaystyle{ B\left( x,r\right) \subset A^c }\). Ale \(\displaystyle{ d\left( x,A\right) \ge r }\) (bo gdyby było inaczej to \(\displaystyle{ B\left( x,r\right) \cap A \neq \varnothing }\)). Zatem faktycznie \(\displaystyle{ d\left( x,A\right)>0 }\).

ODPOWIEDZ