Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dowodu.

Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ d(x,A)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \notin A}\).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Ustalmy \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\) czyli \(\displaystyle{ x\in A^{c}=X \setminus A}\). Weźmy \(\displaystyle{ \epsilon_x=d\left( x,A\right) }\), taki \(\displaystyle{ \epsilon_x}\) istnieje i jest większy od zera. Rozważmy kule \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) }\). Jako, że \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) \cap A=\varnothing }\) to \(\displaystyle{ B\left( x,\epsilon_x\right) \subset A^c }\) (bo gdyby było inaczej to jakiś element \(\displaystyle{ A}\) były bliżej w sensie metryki \(\displaystyle{ d}\) do \(\displaystyle{ x}\), a tak być nie może ze względu na definicję \(\displaystyle{ \epsilon_x}\)) zatem \(\displaystyle{ A^c}\) jest otwarty. Czyli \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty.

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right) }\) Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie domknięty. Wtedy \(\displaystyle{ A^c}\) jest otwarty. Zatem do dowolnego \(\displaystyle{ x\in A^c}\) istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) taki, że \(\displaystyle{ B\left( x,r\right) \subset A^c }\). Ale \(\displaystyle{ d\left( x,A\right) \ge r }\) (bo gdyby było inaczej to \(\displaystyle{ B\left( x,r\right) \cap A \neq \varnothing }\)). Zatem faktycznie \(\displaystyle{ d\left( x,A\right)>0 }\).