Topologia generowana przez metrykę - co to znacza

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 2 razy

Topologia generowana przez metrykę - co to znacza

Post autor: mmss » 17 mar 2021, o 23:01

Cześć,

czy mógłbym zapytać o wyjaśnienie, co oznacza zwrot : Topologia generowana przez metrykę?

Np. mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) a metryką, to usłyszałem dziś stwierdzenie że gdy mamy metrykę w przestrzeni to od razy możemy o niej myśleć jak o przestrzeni topologicznej z metryką gdzie topologia jest generowana przez metrykę. Czy mógłbym poprosić o wyjaśnienie co to dokładnie znaczy.

Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.

Tak w ogóle, to czy zbiory w bazie przestrzeni topologicznej mogą być liniowo niezależne - tu bym myślał o tym że ich przecięcia są zbiorami pustymi - tak bym wprowadzał pojęcie bazy przestrzeni topologicznej.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27849
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Topologia generowana przez metrykę - co to znacza

Post autor: Jan Kraszewski » 17 mar 2021, o 23:34

mmss pisze:
17 mar 2021, o 23:01
Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.
To dobra intuicja.

JK

ODPOWIEDZ