Topologia generowana przez metrykę - co to znacza
: 17 mar 2021, o 23:01
Cześć,
czy mógłbym zapytać o wyjaśnienie, co oznacza zwrot : Topologia generowana przez metrykę?
Np. mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) a metryką, to usłyszałem dziś stwierdzenie że gdy mamy metrykę w przestrzeni to od razy możemy o niej myśleć jak o przestrzeni topologicznej z metryką gdzie topologia jest generowana przez metrykę. Czy mógłbym poprosić o wyjaśnienie co to dokładnie znaczy.
Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.
Tak w ogóle, to czy zbiory w bazie przestrzeni topologicznej mogą być liniowo niezależne - tu bym myślał o tym że ich przecięcia są zbiorami pustymi - tak bym wprowadzał pojęcie bazy przestrzeni topologicznej.
czy mógłbym zapytać o wyjaśnienie, co oznacza zwrot : Topologia generowana przez metrykę?
Np. mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) a metryką, to usłyszałem dziś stwierdzenie że gdy mamy metrykę w przestrzeni to od razy możemy o niej myśleć jak o przestrzeni topologicznej z metryką gdzie topologia jest generowana przez metrykę. Czy mógłbym poprosić o wyjaśnienie co to dokładnie znaczy.
Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.
Tak w ogóle, to czy zbiory w bazie przestrzeni topologicznej mogą być liniowo niezależne - tu bym myślał o tym że ich przecięcia są zbiorami pustymi - tak bym wprowadzał pojęcie bazy przestrzeni topologicznej.