Topologia generowana przez metrykę - co to znacza

[mmss]

Cześć,

czy mógłbym zapytać o wyjaśnienie, co oznacza zwrot : Topologia generowana przez metrykę?

Np. mamy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) a metryką, to usłyszałem dziś stwierdzenie że gdy mamy metrykę w przestrzeni to od razy możemy o niej myśleć jak o przestrzeni topologicznej z metryką gdzie topologia jest generowana przez metrykę. Czy mógłbym poprosić o wyjaśnienie co to dokładnie znaczy.

Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.

Tak w ogóle, to czy zbiory w bazie przestrzeni topologicznej mogą być liniowo niezależne - tu bym myślał o tym że ich przecięcia są zbiorami pustymi - tak bym wprowadzał pojęcie bazy przestrzeni topologicznej.

[Jan Kraszewski]

Intuicja mi mówi że topologia przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wszystkich zbiorów otwartych i mając metrykę możemy zdefiniować kule otwarte które są definiowalne za pomocą metryki a co więcej, chyba możemy za pomocą takich kul otwartych zrobić bazę przestrzeni topologicznej i każdy inny zbiór w \(\displaystyle{ V}\) zbudować za pomocą zbiorów z bazy przestrzeni topologicznej.

To dobra intuicja.

JK