Strona 1 z 1

Nieprzeliczalny gęsty F_sigma

: 16 mar 2021, o 10:09
autor: Dualny91
Zastanawiam się, czy istnieje nieprzeliczalny, gęsty zbiór\(\displaystyle{ F}\) typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R},}\) przy czym \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus F}\) jest również nieprzeliczalny, gęsty. Jeśli takie rozbicie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) istnieje, to czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus F}\) również może (musi?) być typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\)?

Samo rozbicie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) na nieprzeliczalnie wiele gęstych, nieprzeliczalnych zbiorów jest mi znane. Nie wiem, czy można zagwarantować sobie, by przy sumie dwóch takich zbiorów choć jeden był typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).

Dodano po 3 godzinach 26 minutach 36 sekundach:
Istnieje taki zbiór. Można nawet zrobić tak: niech \(\displaystyle{ C_n}\) oznacza zbiór Cantora upchany w przedział \(\displaystyle{ I_n}\) (przy czym \(\displaystyle{ (I_n)}\) jest ciągiem wszystkich przedziałów o końcach wymiernych). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ F=\mathbb{Q} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n}\) jest typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) oraz miary \(\displaystyle{ 0}\) na każdym przedziale, wobec czego jego dopełnienie \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus F}\) musi być miary pełnej na każdym przedziale, a więc na każdym przedziale jest ono zbiorem nieprzeliczalnym, gęstym.