Zbiór zwarty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Zbiór zwarty

Post autor: Bran » 20 sty 2021, o 00:31

Wykazać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^k}\) z metryka naturalna zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty
wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 769
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 172 razy

Re: Zbiór zwarty

Post autor: kmarciniak1 » 20 sty 2021, o 10:40

Przecież to klasyka do znalezienia w każdym skrypcie a i pewnie na wikipedii.
Strona 65 tego skrpytu powinna Ci pomóc:
https://www.math.uni.wroc.pl/sites/defa ... rupski.pdf

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3301
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1139 razy

Re: Zbiór zwarty

Post autor: Janusz Tracz » 20 sty 2021, o 10:49

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow\right) }\) Zakładając zwartość \(\displaystyle{ A \subset \RR^k}\) zakładamy, że każdy ciąg \(\displaystyle{ \left\langle a_n\right\rangle \subset A }\) ma podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ a\in A}\). Zatem dowolny ciąg \(\displaystyle{ \left\langle b_n\right\rangle \subset A }\) który jest zbieżny ma podciąg zbieżny (samego siebie) i granica jest w \(\displaystyle{ A}\) zatem \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty. Ograniczoność chyba najlepiej nie wprost pokazać. Gdyby założyć, że \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty ale nie jest ograniczony to istniał by ciąg którego współrzędne mogą uciekać do \(\displaystyle{ \infty }\), a mimo to posiadał by on podciąg zbieżny. Co jest sprzecznością.

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right) }\) Intuicja jest taka, że masz jakąś domkniętą i ograniczoną przestrzeń \(\displaystyle{ A}\). A w niej jakiś ciąg \(\displaystyle{ \left\langle a_n\right\rangle \subset A }\). To możesz sobie wyobrazić, że w takim zbiorze jest nieskończenie wiele porozrzucanych punktów. Cel jest taki aby pokazać, że z tych punktów można wybrać podciąg zbieżny do jakiegoś \(\displaystyle{ a\in A}\). I kluczowe spostrzeżenie jest taki, że skoro \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczone to jak je przetnę na pół (cokolwiek to teraz znaczy) to na pewno do jakiejś części po przeciągu wpadnie nieskończenie wiele punktów. Gdyby po przecięciu do obu części wpadło tyle samo wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) to była bo to sprzeczność bo ciag \(\displaystyle{ a_n}\) na nieskończenie wiele wyrazów. Zatem mamy taki mniejszy zbiór w którym jest nieskończenie wiele wyrazów. Sytuacja jest więc taka sama jak poprzednio. Przekrawamy na pół i wybieramy połówkę w której jest nieskończenie wiele wyrazów. Formalniej zamiast tak przekrawać można brać pokrycia kulami. Wtedy do jakiejś kuli wpada nieskończenie wiele wyrazów itd. Można też jeszcze inaczej stosując twierdzenie Bolzano-Weierstarssa do każdej z \(\displaystyle{ k}\) zmiennych ciągu \(\displaystyle{ a_n=\left( a^1_n,a^2_n,...,a^k_n\right) }\). Wtedy wybiera się podciąg zbieżny dla ciągu \(\displaystyle{ a^1_k}\) postem z tego ciągu zbieżnego wybieramy podciąg zbieżny ciągu \(\displaystyle{ a^2_k}\) itp. Ostatecznie mamy podciąg wszystkich tych podciągów w których współrzędne \(\displaystyle{ a^i_n}\) zbiegają. Zatem udaje się wyznaczyć podciąg taki, że \(\displaystyle{ a_n}\) jest zbieżne (oczywiście z domkniętości do elementu z \(\displaystyle{ A}\)).

ODPOWIEDZ