Matematyka.pl

Jak uzasadnić, że przestrzenie \(\displaystyle{ (\RR ^{n}, || \cdot ||_{n})}\) i \(\displaystyle{ (\RR , | \cdot |) ^{n} }\) są homeomorficzne?

Topologie tych przestrzeni są identyczne. Aby to uzasadnić, proponuję pokazać, że każdy zbiór bazowy jednej topologii daje się zapisać jako suma zbiorów otwartych drugiej topologii i na odwrót. Jest to standardowy warunek wystarczający na równość topologii. Czy wiesz jak wyglądają zbiory bazowe dla tych topologii?

No właśnie nie bardzo.

A wiesz jak się wprowadza topologię w przestrzeni metrycznej? Albo jak się wprowadza topologię produktową?

Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach. Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.

LiczbaPi pisze: ↑15 sty 2021, o 22:50 Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach.

Tak, jest to baza tej przestrzeni. Bazą jest także rodzina wszystkich kul otwartych i ta baza lepiej nadaje się do tego zadania.

Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.

To powinieneś zacząć od poznania tej definicji.