homeomorfizm przestrzeni

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi » 13 sty 2021, o 15:05

Jak uzasadnić, że przestrzenie \(\displaystyle{ (\RR ^{n}, || \cdot ||_{n})}\) i \(\displaystyle{ (\RR , | \cdot |) ^{n} }\) są homeomorficzne?
Ostatnio zmieniony 13 sty 2021, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2034
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 303 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm » 13 sty 2021, o 17:14

Topologie tych przestrzeni są identyczne. Aby to uzasadnić, proponuję pokazać, że każdy zbiór bazowy jednej topologii daje się zapisać jako suma zbiorów otwartych drugiej topologii i na odwrót. Jest to standardowy warunek wystarczający na równość topologii. Czy wiesz jak wyglądają zbiory bazowe dla tych topologii?

LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi » 14 sty 2021, o 10:01

No właśnie nie bardzo.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2034
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 303 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm » 14 sty 2021, o 17:23

A wiesz jak się wprowadza topologię w przestrzeni metrycznej? Albo jak się wprowadza topologię produktową?

LiczbaPi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 29 cze 2020, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 2 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: LiczbaPi » 15 sty 2021, o 22:50

Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach. Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2021, o 23:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2034
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 303 razy

Re: homeomorfizm przestrzeni

Post autor: matmatmm » 18 sty 2021, o 13:17

LiczbaPi pisze:
15 sty 2021, o 22:50
Wydaje mi się, że bazą (\(\displaystyle{ \RR ^{n}, || \cdot || _{n} }\)) będą kule otwarte, np takie o wymiernych środkach i promieniach.
Tak, jest to baza tej przestrzeni. Bazą jest także rodzina wszystkich kul otwartych i ta baza lepiej nadaje się do tego zadania.
Jeśli chodzi o tą drugą przestrzeń nie mam pojęcia i niestety nie wiem jak się wprowadza topologię produktową.
To powinieneś zacząć od poznania tej definicji.

ODPOWIEDZ