Otoczenia a zbiór otwarty

[Bran]

Przy dowodzie pewnego faktu postanowiłem udowodnić, że:

dla każdych \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X}\), takich że \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( \exists_{U\in B(x_1)} \;\; x_2 \notin U\right) \Leftrightarrow \left( \exists_{U \in \tau} \; \; x_1 \in U, \; x_2 \notin U \right),}\)

gdzie \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) jest przestrzenią, a \(\displaystyle{ B(x_1)}\) jest bazą punktu \(\displaystyle{ x_1.}\)

Mam problem przy przejściu w lewo:
Z definicji otoczenia wiemy, że zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) zawierający \(\displaystyle{ x_1}\) i niezawierającym \(\displaystyle{ x_2}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x_1}\) niezawierającym \(\displaystyle{ x_2.}\)

Tylko czy jeżeli istnieje otoczenie punktu \(\displaystyle{ X}\) to koniecznie musi zawierać się w jakiejś bazie otoczeń? Czy to wystarczy to pokazania tej implikacji?

[Dasio11]

Skorzystaj z definicji bazy otoczeń.

[Bran]

Dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x_1}\) istnieje \(\displaystyle{ V \in B(x_1)}\) takie, że \(\displaystyle{ V \subset U}\).

Domyślam się, że o ten fragment definicji chodzi. Zastanawiałem się już nad tym i wydaje mi się, że otoczenia w bazie mogą być podzbiorami mojego otoczenia \(\displaystyle{ U}\), mogą być też jego nadzbiorami, ale nie mam pewności, że moje otoczenie będzie w bazie. Także nadal jestem w tym samym punkcie.

[a4karo]

A po co myślisz o nadzbiorach? Jeżeli \(\displaystyle{ x_2\not\in U}\) i \(\displaystyle{ B(x_1)\ni V\subset U}\) to co powiedz o warunku `x_2\in V`?

[Bran]

Że tym bardziej nie zachodzi. Tylko moje pytanie (może niezbyt precyzyjne, przepraszam) brzmiało troszkę inaczej.

Bo żeby pokazać warunek:
\(\displaystyle{ \left( \exists_{U \in B(x_1)} x \notin U \right) }\) muszę pokazać, że: \(\displaystyle{ U \in B(x_1).}\) Tutaj mam problem.

[Dasio11]

Bo żeby pokazać warunek:
\(\displaystyle{ \left( \exists_{U \in B(x_1)} x \notin U \right) }\) muszę pokazać, że: \(\displaystyle{ U \in B(x_1).}\)

Nie. Musisz wskazać jakikolwiek \(\displaystyle{ W \in B(x_1)}\) taki że \(\displaystyle{ x_2 \notin W}\), a tym \(\displaystyle{ W}\) wcale nie musi być \(\displaystyle{ U}\).

[Bran]

\(\displaystyle{ B(x_1)}\) jest dowolną bazą otoczeń punktu \(\displaystyle{ x_1}\)?

[krl]

\(\displaystyle{ \left( \exists_{U\in B(x_1) \;\; x_2 \notin U}\right) \Leftrightarrow \left( \exists_{U \in \tau \; \; x_1 \in U, \; x_2 \notin U} \right),}\)

\(\displaystyle{ U }\) w warunku po lewej stronie równoważności nie musi być to samo, co \(\displaystyle{ U}\) w warunku po prawej stronie.

[Bran]

Teraz jasne. Dziękuję chłopaki!