Udowodnić, że pierwsza kategoria jest niezmiennikiem homeomorfizmów.
Niech \(\displaystyle{ (X, \tau_1), \; (Y, \tau_2)}\) będą przestrzeniami topologicznymi, a \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) będzie homeomorfizmem.
Zbiór jest zbiorem pierwszej kategorii, jeżeli jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów nigdziegęstych.
Najpierw udowodnimy, że nigdziegęstość jest niezmiennikiem.
Niech \(\displaystyle{ A \subset X}\) będzie zbiorem nigdziegęstym. Wówczas \(\displaystyle{ X \setminus \cl A}\) jest gęsty, a ponieważ gęstość jest niezmiennikiem (przyjmuję, że to już udowdnione), a ponieważ gęstość jest niezmiennikiem, to również zbiór \(\displaystyle{ f\left[ X \setminus \cl A\right]}\) jest gęsty.
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest homeomrofizmem, to:
\(\displaystyle{ f\left[X \setminus \cl A\right] = f\left[ X\right] \setminus f\left[ \cl A\right] = Y \setminus \cl f\left[ A\right].}\)
Więc zbiór \(\displaystyle{ f\left[ A \right]}\) jest nigdziegęsty, a nigdziegęstość jest niezmiennikiem.
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem pierwszej kategorii, więc \(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} A_i = A}\) (Gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest zbiorem przeliczalnym) i dla każdego \(\displaystyle{ \left( i \in I\right) }\) \(\displaystyle{ A_i}\) jest nigdziegęsty.
Z bijektywności \(\displaystyle{ f}\) wynika
\(\displaystyle{ f\left[ A\right] = f\left[ \bigcup_{i \in I} A_i\right] = \bigcup_{i \in I} f\left[ A_i\right] }\)
a ponieważ nigdziegęstość jest niezmiennikiem homeomorfizmów, to \(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} f\left[ A_i\right]}\) jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych, więc zbiór \(\displaystyle{ f[A]}\) jest zbiorem pierwszej kategorii.