zbieżność w różnych topologiach

[2szeba]

Weźmy ciągi \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}, y_n=n}\), topologie: dopełnień skończonych i dopełnień przeliczalnych. Jak pokazywać w tych topologiach zbieżność lub jej brak? Jak pokazywać zbiory granic?

[Jan Kraszewski]

A co rozumiesz przez "zbieżność w topologii"?

JK

[2szeba]

Istnienie granicy.

[Jan Kraszewski]

A jak definiujesz granicę?

JK

[2szeba]

Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset X}\) nazywamy zbieżnym do punktu \(\displaystyle{ x}\), jeśli dla każdego \(\displaystyle{ U\in\tau,x\in U}\) istnieje \(\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N}}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ n\geq n_0}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in U}\).
Punkt \(\displaystyle{ x}\) nazywamy granicą ciągu.