Odwzorowanie otwarte jest domknięte

[Bran]

Niech \(\displaystyle{ (X, \tau_1), (Y, \tau_2)}\) będą przestrzeniami topologicznymi.

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest odwzorowaniem otwartym (domkniętym) i bijekcją, to jest odwzorowanie domkniętym (otwartym).

Niestety nie potrafię nawet zacząć. Bardzo proszę od podpowiedź.

[szw1710]

Załóżmy, że \(f\) jest odwzorowaniem otwartym. Niech \(A\) będzie zbiorem domkniętym. Wtedy \(X\setminus A\) jest zbiorem otwartym, skąd \(f(X\setminus A)\) jest zbiorem otwartym. Ale \(f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)\), bo \(f\) jest bijekcją. Więc \(f(A)\) jest zbiorem domkniętym.

Drugiej części dowodzimy analogicznie.

[Bran]

Dziękuję bardzo!
Niestety nie rozumiem tej równości

Ale \(f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)\), bo \(f\) jest bijekcją.

Mógłbym prosić o naprowadzenie?

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest bijekcją, to w szczególności jest surjekcją (więc \(\displaystyle{ f(X)=Y}\)) i injekcją (więc \(\displaystyle{ f(A)\cap f(X\setminus A)=\varnothing}\)).

[Bran]

Dlaczego funkcja \(\displaystyle{ f}\) zbiorowi \(\displaystyle{ X}\) musi przypisywać zbiór \(\displaystyle{ Y}\) żeby być suriekcją?

[Janusz Tracz]

Z definicji suriekcji, obraz \(\displaystyle{ f(X)}\) ma być równy przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ Y}\).

Dodano po 4 minutach 34 sekundach:
Inaczej. Gdyby istniał \(\displaystyle{ y\in Y}\) dla którego nie znalazł by się \(\displaystyle{ x\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=y}\) to przeczyło by to suriektywności.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego funkcja \(\displaystyle{ f}\) zbiorowi \(\displaystyle{ X}\) musi przypisywać zbiór \(\displaystyle{ Y}\) żeby być suriekcją?

Zapis \(\displaystyle{ f(X)=Y}\) nie oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) zbiorowi \(\displaystyle{ X}\) przypisuje zbiór \(\displaystyle{ Y}\), tylko że obrazem tej funkcji (czyli jej zbiorem wartości) jest cała przeciwdziedzina.

Niestety nie rozumiem tej równości
\(\displaystyle{ f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)}\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, więc \(\displaystyle{ f(X\setminus A)=f(X)\setminus f(A)}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją, więc \(\displaystyle{ f(X)=Y}\), zatem łącznie mamy \(\displaystyle{ f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)}\).

JK