topologia relatywna

[2szeba]

Mamy topologię naturalną na płaszczyźnie i relację równoważności zadaną w ten sposób, że dwa punkty są ze sobą w relacji, jeśli części ułamkowe ich odpowiednich współrzędnych są równe. Jak w topologii relatywnej zadanej przez tą relację wyglądają zbiory otwarte, domknięte?

[szw1710]

Innymi słowy ta relacja ma taki opis:\[(a,b)\sim(c,d)\iff c-a\in\ZZ\wedge d-b\in\ZZ.\]Zastanów się jak wyglądają tu klasy abstrakcji oraz jak wygląda przekształcenie ilorazowe \((a,b)\mapsto [(a,b)]_{\sim}.\) No i jak wyglądają przeciwobrazy zbiorów klas abstrakcji. Bo zbiór jest otwarty w tej topologii ilorazowej (używasz nazwy topologia relatywna), jeśli jego przeciwobraz przez przekształcenie ilorazowe jest otwarty w topologii naturalnej.

Czy widziałeś papier w kratkę? Narysuj na nim układ współrzędnych. Klasa abstrakcji początku układu czyli punktu \((0,0)\) to zbiór wszystkich punktów kratowych, czyli punktów o obu współrzędnych całkowitych (przecięcia się kratek na papierze). Tak więc klasa abstrakcji każdego punktu będzie wyglądać podobnie. Tworzymy te punkty kratowe, ale względem niego.

Tak więc klasy abstrakcji w tej relacji to takie kratownice. Więc zbiór otwarty w topologii ilorazowej składa się z takich kratownic. I teraz jaki jest jego przeciwobraz w przekształceniu ilorazowym? Przeciwobrazem jednej kratownicy jest zbiór wszystkich punktów, które ją tworzą. Więc przeciwobraz zbioru kratownic to zbiór wszystkich punktów te kratownice tworzących. I tenże przeciwobraz ma być otwarty w topologii naturalnej. No więc weźmy dowolny zbiór otwarty w topologii naturalnej i wszystkie kratownice, których reprezentanty leżą w tym zbiorze tworzą zbiór otwarty w topologii ilorazowej. Co prawda przeciwobraz zbioru tych kratownic będzie większy, ale tez będzie otwartym podzbiorem płaszczyzny.

Reasumując: niech \(k(x,y)\) oznacza kratownicę o początku \((x,y)\) czyli klasę abstrakcji \([(x,y)]_{\sim}.\) Wydaje mi się, że zbiory otwarte w tej topologii mają postać\[\bigcup \bigl\{k(x,y)\colon (x,y)\in U\wedge U\text{ otwarty w topologii naturalnej}\bigr\}.\]Zbiory domknięte to dopełnienia zbiorów otwartych.

[2szeba]

Podam jeden z przykładów do rozwiązania. Należy podać wnętrze domknięcie i brzeg zbioru postaci \(\displaystyle{ \left\{ [(x,y)]:(x,y)\in\left[0,\frac{1}{2}\right)^2\right\} }\).

[szw1710]

No to pomyśl o tych kratownicach. Jeśli weźmiesz kwadrat jednostkowy, to ten kwadrat to jego ćwiartka. No więc kopiujesz ćwiartkę tego kwadratu na każdy punkt kratowy. Nie jest to ścisłe, bo mowa o klasach abstrakcji, ale to tak wygląda.