Mam znaleźć wnętrza, domknięcia, brzegi i pochodne zbiorów w różnych topologiach. Podam jakieś najprostsze przykłady, proszę o wskazówki a resztę postaram się zrobić sam. \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ (0,1)}\) w topologii prawych odcinków oraz w topologii dopełnień skończonych;
\(\displaystyle{ \{1\}}\) w topologii dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
różne topologie
Re: różne topologie
\(\{1\}\) jest dopełnieniem zbioru otwartego \(\RR\setminus \{1\}\), więc singleton jest zbiorem domkniętym w tej ostatniej topologii. Nie jest zbiorem otwartym, bo jego dopełnienie jest nieprzeliczalne. A wnętrze - wobec tego musi być puste.
Co to jest topologia prawych odcinków? Co wykładowca, to ma swoje nazwy.
Co to jest topologia prawych odcinków? Co wykładowca, to ma swoje nazwy.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 28 kwie 2020, o 23:25
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 4 razy
Re: różne topologie
\(\displaystyle{ \tau=\{(a,+\infty): a\in\mathbb{R}\}\cup
\{\emptyset,\mathbb{R}\}}\)
Dodatkowo pasuje pokazać, że ta topologia nie pochodzi od metryki.
Dodano po 47 minutach 11 sekundach:
Co do metryzowalności to mam pomysł żeby pokazać, że topologia ta nie spełnia warunku Hausdorffa. Dobrze myślę?
\{\emptyset,\mathbb{R}\}}\)
Dodatkowo pasuje pokazać, że ta topologia nie pochodzi od metryki.
Dodano po 47 minutach 11 sekundach:
Co do metryzowalności to mam pomysł żeby pokazać, że topologia ta nie spełnia warunku Hausdorffa. Dobrze myślę?
Re: różne topologie
Przestrzeń metryczna jest normalna, więc oczywiście brak własności \(T_2\) (przestrzeń Hausdorffa) czyni przestrzeń niemetryzowalną.
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 30
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 18 razy
Re: różne topologie
Hmm... Zbiory domknięte w tej topologii to \((-\infty,a]\) oraz \(\RR,\varnothing\). No więc najmniejszy zbiór domknięty zawierający \((0,1)\) to \((-\infty,1]\), nieprawdaż? Teraz wnętrze - oczywiście puste. Więc brzeg jest identyczny jak domknięcie. Pochodna, j.w. Masz rację.