różne topologie

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
2szeba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 28 kwie 2020, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

różne topologie

Post autor: 2szeba »

Mam znaleźć wnętrza, domknięcia, brzegi i pochodne zbiorów w różnych topologiach. Podam jakieś najprostsze przykłady, proszę o wskazówki a resztę postaram się zrobić sam. \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ (0,1)}\) w topologii prawych odcinków oraz w topologii dopełnień skończonych;
\(\displaystyle{ \{1\}}\) w topologii dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
szw1710

Re: różne topologie

Post autor: szw1710 »

\(\{1\}\) jest dopełnieniem zbioru otwartego \(\RR\setminus \{1\}\), więc singleton jest zbiorem domkniętym w tej ostatniej topologii. Nie jest zbiorem otwartym, bo jego dopełnienie jest nieprzeliczalne. A wnętrze - wobec tego musi być puste.

Co to jest topologia prawych odcinków? Co wykładowca, to ma swoje nazwy.
2szeba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 28 kwie 2020, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: różne topologie

Post autor: 2szeba »

\(\displaystyle{ \tau=\{(a,+\infty): a\in\mathbb{R}\}\cup
\{\emptyset,\mathbb{R}\}}\)

Dodatkowo pasuje pokazać, że ta topologia nie pochodzi od metryki.

Dodano po 47 minutach 11 sekundach:
Co do metryzowalności to mam pomysł żeby pokazać, że topologia ta nie spełnia warunku Hausdorffa. Dobrze myślę?
szw1710

Re: różne topologie

Post autor: szw1710 »

Przestrzeń metryczna jest normalna, więc oczywiście brak własności \(T_2\) (przestrzeń Hausdorffa) czyni przestrzeń niemetryzowalną.
FasolkaBernoulliego
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 23 sty 2020, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 18 razy

Re: różne topologie

Post autor: FasolkaBernoulliego »

W tym pierwszym przykładzie domknięcie, brzeg i pochodna będą takie same?
szw1710

Re: różne topologie

Post autor: szw1710 »

Hmm... Zbiory domknięte w tej topologii to \((-\infty,a]\) oraz \(\RR,\varnothing\). No więc najmniejszy zbiór domknięty zawierający \((0,1)\) to \((-\infty,1]\), nieprawdaż? Teraz wnętrze - oczywiście puste. Więc brzeg jest identyczny jak domknięcie. Pochodna, j.w. Masz rację.
ODPOWIEDZ