Czy to zadanie ma sens? Bo wydaje mi się, że dość łatwo można podać kontrprzykład, że jednak nie.Udowodnij, że produkt \(\displaystyle{ X _{1} \times ... \times X _{k} }\)
z metryką \(\displaystyle{ \overline{p} = \sum_{i=1}^{k}p _{i} (x _{i} , y _{i} ) }\) gdzie \(\displaystyle{ p _{i}}\) to metryka przestrzeni \(\displaystyle{ X _{i} }\), \(\displaystyle{ i = 1,2,...,k}\)
jest przestrzenią zupełną.
Myślę, że któraś z tych przestrzeni mogłaby nie być zupełna, niech to będzie np. \(\displaystyle{ X _{l}, l \in \left\{ 1, ..., k\right\} }\)
Zatem istnieje w niej ciąg \(\displaystyle{ x _{l _{n} } }\) który spełnia warunek cauchy'ego ale jego granica nie należy do tej przestrzeni
Wiem, że jeżeli punkt \(\displaystyle{ a=(a _{1} , ..., a _{k} ),}\) \(\displaystyle{ a _{1} \in X _{1}, ..., a _{k} \in X _{k}}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ x _{n} =(x _{1 _{n} }, ..., x _{k _{n} } )}\), przestrzeni \(\displaystyle{ X _{1} \times ... \times X _{k} }\), to mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x _{i _{n} } =a _{i} }\) dla \(\displaystyle{ i = 1,...,k}\)
Czyli też \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x _{l _{n} } =a _{l} }\)
Co jest niemożliwe, bo granica tego ciągu nie należy do przestrzeni \(\displaystyle{ X _{l} }\)
Zatem wtedy to nie może być przestrzeń zupełna
Czy moje myślenie jest poprawne?
