Domknięcie a wnętrze dopełnienia

[malwinka1058]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \overline{A}=(\Int(A'))'}\).

[Dasio11]

Wystarczy wykazać, że zbiór po prawej stronie jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym \(\displaystyle{ A}\). Łatwo widać, że jest on domknięty, bo jest dopełnieniem zbioru otwartego. Weźmy dowolny domknięty nadzbiór \(\displaystyle{ F \supseteq A}\). Wtedy \(\displaystyle{ F' \subseteq A'}\) i \(\displaystyle{ F'}\) jest zbiorem otwartym, zatem z definicji wnętrza \(\displaystyle{ F' \subseteq \operatorname{Int}(A')}\). Nakładając obustronnie dopełnienie dostajemy \(\displaystyle{ (\operatorname{Int}(A'))' \subseteq F}\), co należało wykazać.