Nieskończenie wiele różnych kul

[Rokush]

Hej, czytałem sobie skrypt z topologii i znalazłem w nim pytanie kontrolne: "czy w nieskończonej przestrzeni metrycznej musi być nieskończenie wiele RÓŻNYCH kul?" i wyjaśnienie, że przez różne kule rozumiemy różne zbiory punktów. I wydaje mi się, że nie musi to być prawda dla jakiejś dziwnej przestrzeni z jakąś metryką dyskretną czy coś ale nie umiem za bardzo wskazać przykładu.

[Lider_M]

Bez dokładnego sprecyzowania co to znaczy 'różne' może być ciężko, choć jak rozważymy metrykę "bubełkową/pokojową" (nazwa własna raczej ), to tam jest bardzo dużo "różnych" zbiorów jako kule.

Na początku niech \([x]:=([x_1],[x_2])\), gdzie \(x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\), oraz \([a]\) oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej \(a\). Niech \(d_e\) oznacza metrykę euklidesową (przykładowo) na \(\mathbb{R}^2\). Wtedy metryka kubełkowa \(d_k\) na \(\mathbb{R}^2\) zdefiniowana jest następująco:

\(d_k(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} d_e(x,y), &\text{ gdy }[x]=[y], \\
d_e(x,[x])+d_e([x],[y])+d_e([y],y), &\text{ gdy } [x]\neq [y].\end{array}\right.\)

Abstrahując od zadanego pytania, warto narysować sobie kilka kul w tej metryce .

[matmatmm]

Bez dokładnego sprecyzowania co to znaczy 'różne' może być ciężko,

Przecież to zostało sprecyzowane. Kule są różne, gdy są różne jako zbiory.

A własność jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej. Dowód:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieskończoną przestrzenią metryczną. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\) zbiór \(\displaystyle{ X\setminus\{x\}}\) jest otwarty. Istnieje więc nieskończenie wiele różnych zbiorów otwartych (topologia jest rodziną nieskończoną). Przypuśćmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) wszystkich kul otwartych jest skończona. Wówczas skończona jest także rodzina wszystkich podzbiorów rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\), a ponieważ topologia jest równa \(\displaystyle{ \left\{\bigcup \mathcal{C}: \mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}\right\}}\), jest ona rodziną skończoną (jako obraz zbioru skończonego przez funkcję \(\displaystyle{ \mathcal{C}\mapsto\bigcup\mathcal{C}}\)). Sprzeczność.