Proste Pytanie

[Piotr_Suski]

Okrąg jest zbiorem domkniętym. Homeomorfizm przekształca zbiory domknięte na zbiory domknięte. To jak rozetniemy okrąg i poprowadzimy równolegle dwa jego końce do nieskończoności to to będzie homeomorfizm. Lecz byśmy wyodrębnili punkt zero na tym tworze to mamy dwa przedziały od zera do nieskończoności, suma tych przedziałów jest od zera do nieskończoności. Więc twór jest otwarty. Dlaczego jest to homeomorfizm?

[a4karo]

Nie jest bo rozciąles

[matmatmm]

Ja twoje rozumowanie interpretuję tak: Mamy okrąg \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyźnie i ustalony punkt \(\displaystyle{ a}\) na tym okręgu. Opisałeś pewne przekształcenie okręgu, które polega na rozcięciu i poprowadzeniu końców do nieskończoności, powiedzmy tworząc oś \(\displaystyle{ OX}\). Problem w tym, że trzeba też określić, co robimy z punktem \(\displaystyle{ a}\). Rozwiązanie, które mi się nasuwa, to przypisanie punktowi \(\displaystyle{ a}\) punktu \(\displaystyle{ \infty}\) na płaszczyźnie Riemanna \(\displaystyle{ \overline{\CC}}\). W ten sposób rzeczywiście otrzymujemy homeomorfizm \(\displaystyle{ f:S\rightarrow P}\), gdzie \(\displaystyle{ P=\{x+iy\in\CC: y=0\}\cup\{\infty\}}\), a topologia na zbiorze \(\displaystyle{ P}\) jest dziedziczona z \(\displaystyle{ \overline{\CC}}\).

Lecz byśmy wyodrębnili punkt zero na tym tworze to mamy dwa przedziały od zera do nieskończoności, suma tych przedziałów jest od zera do nieskończoności. Więc twór jest otwarty.

Jednak tego argumentu niestety nie rozumiem. Możesz przybliżyć?

[Piotr_Suski]

Kod: Zaznacz cały

https://drive.google.com/file/d/1AiLYUHBXCPn4ppsqRBMafATIm0HrLrzP/view?usp=sharing

i ta figura (obrazek nr 4) zdaje się być otwarta a nie domknięta.

[matmatmm]

1. Do figury na obrazku nr 4 tak naprawdę należy jeszcze punkt \(\displaystyle{ \infty}\), który można sobie wyobrażać tak, że otacza on całą płaszczyznę dookoła. Inaczej nie byłby to homeomorfizm, jak wskazuje strzałka.

2. Figura ta (z dołączonym punktem \(\displaystyle{ \infty}\)) jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny Riemanna, czyli płaszczyzny uzupełnionej o punkt \(\displaystyle{ \infty}\).

3. Jeśli homeomorfizm jest określony tylko na podzbiorze \(\displaystyle{ A}\) płaszczyzny i obrazem tego homeomorfizmu jest podzbiór \(\displaystyle{ B}\) płaszczyzny, to nie oznacza to, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty (jako podzbiór płaszczyzny), to \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty (jako podzbiór płaszczyzny). Własność taka zachodzi, gdy homeomorfizm jest określony na całej płaszczyźnie.

Edit. Dla płaszczyzny (sfery) Riemanna zachodzi własność z punktu 3, która nie zachodzi dla zwykłej płaszczyzny, bo płaszczyzna Riemanna jest przestrzenią zwartą metryzowalną, ale jak mówi punkt 2 obraz tego homeomorfizmu jest domknięty.

Edit. Teraz doczytałem na obrazku, że jest to homeomorfizm koła otwartego, a nie okręgu, jak sugerował Piotr_Suski w pierwszym poście. W takim wypadku rozważania dotyczące sfery Riemanna i punktu w nieskończoności są niepotrzebne. Mamy po prostu homeomorfizm między podzbiorami zwykłej płaszczyzny.

[Piotr_Suski]

Tak tylko w takim razie czym różni się homeomorfizm od homeomorfizmu jednostajnego? Skoro w obu przypadkach nasza "funkcja" może rozbiegać się do nieskończoności.

Ale już rozważając nasz przypadek okazuje się że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty na podzbiorze płaszczyzny to jego obraz \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty jako podzbiór płaszczyzny. Proszę o kontrprzykład.

[matmatmm]

Kontrprzykład to prosta oraz odcinek bez końców, które są homeomorficzne. Jeden zbiór jest domknięty, a drugi nie (jako podzbiory płaszczyzny).

A czym jest homeomorfizm jednostajny, to akurat nie wiem

[Piotr_Suski]

Odcinek bez końców jest oczywiście… zbiorem otwartym. Jest to jednowymiarowa kula otwarta o środku w środku tego odcinka i o promieniu równym połowie długości odcinka.

A przekształcenie \(\displaystyle{ f: A \to X \ f(a)=a}\) jest izomorfizmem(ponieważ nie zmienia odległości) czyli jest homeomorfizmem. Więc jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte(domknięte) to \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ X}\) jest otwarte(domknięte) więc i \(\displaystyle{ B}\) w \(\displaystyle{ X}\) jako homeomorficzne z \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte(domknięte) czyli też i \(\displaystyle{ B}\).

[matmatmm]

Odcinek bez końców jest oczywiście… zbiorem otwartym.

Na płaszczyźnie nie jest.

Więc jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte(domknięte) to \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ X}\) jest otwarte(domknięte)

Czy w niebieskim fragmencie masz na myśli, że \(\displaystyle{ A}\) jest otwarte(domknięte) w \(\displaystyle{ A}\) ?

[Piotr_Suski]

1 Dlaczego na płaszczyźnie nie jest?
2 Co jest nie zrozumiałe? \(\displaystyle{ f: A \to X \ f(a)=a}\) jest homeomorfizmem ,jest on między różnymi przestrzeniami, więc zbiory otwarte(domknięte) przechodzą na zbiory otwarte(domknięte). Co znaczy że pojęcie otwartości/domkniętości jest pojęciem niezależnym od wyboru przestrzeni metrycznej.

[Jan Kraszewski]

1 Dlaczego na płaszczyźnie nie jest?

Odwrócę pytanie: a dlaczego miałby być? Wiesz jak wyglądają bazowe zbiory otwarte na płaszczyźnie? Uważasz, że odcinek otwarty na płaszczyźnie jest sumą pewnej rodziny takich zbiorów bazowych?

\(\displaystyle{ f: A \to X \ f(a)=a}\) jest homeomorfizmem

A skąd ta pewność? Pamiętasz o tym, że homeomorfizm w szczególności musi być bijekcją?

JK

[Piotr_Suski]

To zależy wyłącznie od tego jak definiujemy otwartość na płaszczyźnie. Jeśli przyjmujemy że zbiory jednowymiarowe na płaszczyźnie są otwarte wtedy i tylko wtedy gdy są otwarte na prostej(co się zgadza z definicją izomorfizmu). To wtedy muszą mieć one jednowymiarowy odpowiednik w bazie.

Izometria oczywiście jest bijekcją.

[a4karo]

Wydaje się, że Twoje pojęcie homeomorfizmu i topologii odbiega znacznie od ogólnie przyjętych.

Może warto, abyś je tu zdefiniował?

[matmatmm]

To zależy wyłącznie od tego jak definiujemy otwartość na płaszczyźnie. Jeśli przyjmujemy że zbiory jednowymiarowe na płaszczyźnie są otwarte wtedy i tylko wtedy gdy są otwarte na prostej(co się zgadza z definicją izomorfizmu). To wtedy muszą mieć one jednowymiarowy odpowiednik w bazie.

Taka topologia na płaszczyźnie nie istnienie. Dla dowodu przypuśćmy, że taka topologia istnieje. Wtedy proste są zbiorami otwartymi. Dalej zbiór \(\displaystyle{ A=[0,1]\times \RR}\) jest otwarty jako suma prostych. Ponadto zbiór \(\displaystyle{ B=(-1,2)\times \{0\}}\) jest otwarty zgodnie z przyjętym warunkiem. Natomiast zbiór \(\displaystyle{ A\cap B=[0,1]\times\{0\}}\) nie jest otwarty, co daje sprzeczność z tym, że topologia jest zamknięta na skończone przekroje.

[Piotr_Suski]

*Jest izometrią oczywiście jeśli A zawiera się w X

Dodano po 10 minutach 1 sekundzie:
to znaczy gdy ma tą samą metrykę