metryki

[2szeba]

Mam problem z dwoma zadaniami:
Niech \(\displaystyle{ d_1,d_2}\) będą metrykami na \(\displaystyle{ X}\).
a) Czy \(\displaystyle{ d_1\cdot d_2}\) jest metryką na \(\displaystyle{ X}\)?
b) Czy \(\displaystyle{ \min(d_1,d_2)}\) jest metryką na \(\displaystyle{ X}\)?
Wydaje mi się, że nie są metrykami. Nie wiem jak to uzasadnić. Problem leży w nierówności trójkąta. Proszę o jakieś wskazówki.

[Dasio11]

(a) Za \(\displaystyle{ d_1}\) i \(\displaystyle{ d_2}\) możesz przyjąć metrykę euklidesową na \(\displaystyle{ \RR}\).

(b) Na \(\displaystyle{ p = (p_x, p_y), q = (q_x, q_y) \in \RR^2}\) niech:

\(\displaystyle{ d_1(p, q) = |p_x - q_x| + 100 | p_y - q_y | \\
d_2(p, q) = 100 |p_x - q_x| + |p_y - q_y|.}\)

Sprawdź nierówność trójkąta dla drogi \(\displaystyle{ (0, 0) \to (1, 0) \to (1, 1)}\).