Warunek konieczny i wystarczający - własność Baire'a

[malwinka1058]

Przyjmuję następującą definicję własności Baire'a:
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) posiada własność Baire'a, jeśli można go przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ A=G\Delta P,}\) gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest zbiorem otwartym, a \(\displaystyle{ P}\) zbiorem pierwszej kategorii.

Pokazać, że następujące warunki są warunkami koniecznymi i wystarczającymi, by zbiór \(\displaystyle{ A}\) posiadał własność Baire'a:
-\(\displaystyle{ A}\) jest sumą zbioru typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru pierwszej kategorii
-\(\displaystyle{ A}\) jest różnicą zbioru typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) i zbioru pierwszej kategorii

Dodano po 11 godzinach 27 minutach 28 sekundach:
Wiem, że do pokazania równoważności między powyższymi podpunktami wystarczy skorzystać z faktu, że dopełnienie zbioru o własności Baire'a ma własność Baire'a, z praw de Morgana i faktu, że zbioru typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) i \(\displaystyle{ G_{\delta} }\) są nawzajem swoimi dopełnieniami.
Nie wiem natomiast, jak pokazać ich równoważność z definicją.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ A = G \Delta P}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest otwarty a \(\displaystyle{ P}\) jest pierwszej kategorii. Wtedy \(\displaystyle{ P = \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i}\) dla pewnych zbiorów nigdziegęstych \(\displaystyle{ N_i, i \in \NN}\) i

\(\displaystyle{ A = \Big( \underbrace{G \setminus \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{N_i}}_{G_{\delta}} \Big) \cup \underbrace{\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} (\overline{N_i} \cap G) \setminus P \right) \cup (P \setminus G)}_{\text{I kat.}}}\)

jest szukanym przedstawieniem.

W drugą stronę: niech \(\displaystyle{ A = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n \setminus P}\) gdzie \(\displaystyle{ F_n, n \in \NN}\) są domknięte a \(\displaystyle{ P}\) jest pierwszej kategorii. Wtedy \(\displaystyle{ A}\) zapisuje się jako

\(\displaystyle{ A = \Big( \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} \operatorname{int} F_n}_{\text{otwarty}} \cup \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} (F_n \setminus \operatorname{int} F_n)}_{\text{I kat.}} \Big) \setminus P}\)

i już nietrudno dojść do żądanej postaci.

[malwinka1058]

W jaki sposób uzasadnić powyższe sposoby przedstawienia zbioru A?

[Jan Kraszewski]

A z którym fragmentem masz problem?

JK

[malwinka1058]

\(\displaystyle{ A = \Big( \underbrace{G \setminus \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{N_i}}_{G_{\delta}} \Big) \cup \underbrace{\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} (\overline{N_i} \cap G) \setminus P \right) \cup (P \setminus G)}_{\text{I kat.}}}\)

[Jan Kraszewski]

OK, a na czym ten problem polega?

JK

[Dasio11]

Sprawdzenie jest na poziomie WDM-u, ale teraz przyszło mi do głowy, jak prościej zapisać dowód pierwszej implikacji. Przy tych samych oznaczeniach definiujemy \(\displaystyle{ Q = \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{N_i}}\) i zauważamy, że jest to zbiór pierwszej kategorii (bo każdy \(\displaystyle{ \overline{N_i}}\) jest z założenia nigdziegęsty). Zbiór \(\displaystyle{ G \setminus Q}\) jest \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i łatwo widać, że \(\displaystyle{ G \setminus Q \subseteq A \subseteq G \cup P}\). Istnieje zatem zbiór \(\displaystyle{ R \subseteq P \cup Q}\), taki że \(\displaystyle{ A = (G \setminus Q) \cup R}\), i to jest szukane przedstawienie.

W poprzednim poście chyba niepotrzebnie skupiłem się na wyliczeniu jawnej postaci \(\displaystyle{ R}\) i stąd te skomplikowane wzory.

[malwinka1058]

\(\displaystyle{ A = \Big( \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} \operatorname{int} F_n}_{\text{otwarty}} \cup \underbrace{\bigcup_{n=1}^{\infty} (F_n \setminus \operatorname{int} F_n)}_{\text{I kat.}} \Big) \setminus P}\)

i już nietrudno dojść do żądanej postaci.

w jaki sposób?

[Jan Kraszewski]

w jaki sposób?

A spróbowałaś poprzekształcać? Bo wydaje się, że masz problemy z przekształceniami zbiorów na poziomie WdM.

JK

[malwinka1058]

Istnieje zatem zbiór \(\displaystyle{ R \subseteq P \cup Q}\), taki że \(\displaystyle{ A = (G \setminus Q) \cup R}\), i to jest szukane przedstawienie.

Skąd wiemy, ze istnieje ten zbiór \(\displaystyle{ R \subseteq P \cup Q}\)?

Dodano po 6 minutach 57 sekundach:

Pokazać, że następujące warunki są warunkami koniecznymi i wystarczającymi, by zbiór \(\displaystyle{ A}\) posiadał własność Baire'a:
-\(\displaystyle{ A}\) jest sumą zbioru typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru pierwszej kategorii
-\(\displaystyle{ A}\) jest różnicą zbioru typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) i zbioru pierwszej kategorii

Mogłabym jeszcze prosić o wskazówki, jak udowodnić implikację \(\displaystyle{ (2) \Rightarrow (3)}\), tzn., że z faktu, że \(\displaystyle{ A}\) jest sumą zbioru typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru pierwszej kategorii wynika, że \(\displaystyle{ A}\) jest różnicą zbioru typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) i zbioru pierwszej kategorii?